2024年高考数学一轮复习专题9.2空间几何体积表面积练习含解析

PAGEPAGE19.2空间几何体的体积及表面积一．多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体积()棱柱棱柱直截面周长×+2·=·直棱柱·棱锥棱锥各侧面积之和+·正棱锥棱台棱台各侧面面积之和++(++)正棱台表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长.二．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧全(即)表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台上、下底面半径，表示半径.考向一体积求法【例1】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2B．1C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)【答案】C【解析】几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，所以体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×2×1＝eq\f(2,3)，故选C.【举一反三】1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.80B.160C.240D.480【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥，且该四棱锥的底面四边形为矩形，其中，高为到的距离，即。所以该几何体的体积为。选B。2.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)【答案】A【解析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，简单求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq\f(\r(2),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故选A.考向二表面积【例2】一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为()A．16＋4eq\r(3) B．16＋4eq\r(5)C．20＋4eq\r(3) D．20＋4eq\r(5)【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S＝5×22＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝20＋4eq\r(5)，故选D.【举一反三】1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，其底面半径为1，高为2，故其表面积：，故选：．2．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是四棱锥，故(或)故选C.1．一个几何体的三视图如图所示，若主视图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，左视图是底边为2的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截掉两个三棱锥，画出几何体的直观图，如图，把几何体补形为一个直三棱柱，由三视图的性质可知三棱柱的底面面积，高，所以，,所以，几何体的体积为.故选A.2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图可知几何体为一个球去掉其，如下图所示：几何体体积：，解得：几何体表面积：本题正确选项：3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，其中,所以，因此面积最大的侧面面积为，选C.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】B【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，4个侧面都是干脆三角形，由所给数据可得该几何体表面积为，故选B.5．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故．故选：D．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，全部直角三角形的面积和为（）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由几何体的三视图可知该几何体为：此四棱锥的三个侧面都为直角三角形．故．故选：B．7．一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析]由题意，依据给定的三视图，可得该几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面上的正投影是斜边的中点，由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是，又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥的高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的高是4，底边长为，其余两个侧面三角形的高为5，底边长为6，故三个侧面中与底面垂直的侧面三角形的面积为，另两个侧面三角形的面积都是，故此几何体的表面积是，故选A.8．如图所示是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P﹣ABC，故AC＝1，PA﹣2，BC＝，∴SABC＝SPAC＝，，，∴多面体的表面积为．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱垂直于底面），其直观图如图所示，在直角梯形中，；同理，，，；在中，，∴，∴，，，∴该四棱锥的侧面积.故选A.10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥，三角形是等腰直角三角形且，；是直角三角形，，；是等腰三角形，且，；又，，，，∴该几何体的表面积是，故选D.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为.故选A.12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．8+46 B．4+26 C．4【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图如下：其中三棱锥的高为2，底面等腰三角形ABC的底边AC=2，高为2，由勾股定理，得PB=22+则该三棱锥的表面积是S=12×2×2×2+13．如图是一个几何体的三视图，分别为直角三角形，半圆，等腰三角形，该几何体由一平面将一圆锥截去一部分后所得，且体积为6π，则该几何体的表面积为（）A．45π2+12C．12π+12 D．9π【答案】C【解析】由三视图得几何体原图是半个圆锥，圆锥底面半径为3，设圆锥的高为h,则6π所以母线为32所以几何体的表面积为1214．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由几何体三视图可知：该几何体为圆柱，且圆柱的底面圆半径为1，高为2，所以圆柱的体积为.故选B15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A． B． C．15 D．【答案】A【解析】由题意可知该几何体是正方体中放置一个倒立的圆锥，那么可知其底面半径为1，高度为2，那么其体积，选A16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．20 B．10 C．30 D．60【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：17．在四面体中，为等边三角形，边长为，，，，则四面体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，延长至，使得，连接，因为，故为等腰三角形，又，故，所以即，故，因为，所以，所以，因，平面，平面，所以平面，所以，因为的中点，所以，因为，故为直角三角形，所以，又，而，故即为直角三角形，所以，所以，故选C.18．如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A． B． C． D．【答案】D【解析】依据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体；如图所示：所以其体积为.故选D19．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形；，几何体的体积为：，故选：C20．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A． B． C．27 D．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积.故选：B21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A． B． C． D．4【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中ABCD为矩形，，，易知该几何体的体积故选B22．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A． B．C． D．【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥如下图所示P－ABC，体积V＝故选：B23．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的与半径为的球的，其球的组合体的体积.故选：A．24．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为，故选D.25．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，依据给定的几何体的三视图可得，该几何体是在一个半球中挖出四分之一圆锥，其中球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，故所求体积为，故选A.26．鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A． B．C． D．【答案】C【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．27．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据三视图可知，该几何体是半径为2的球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为,故选D．28．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为()A．6 B．8 C． D．【答案】B【解析】由三视图可得四棱锥为如图所示的长方体中的四棱锥，其中在长方体中，，点分别为的中点．由题意得，所以可得，又，所以平面即线段即为四棱锥的高．所以.故选B．29．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图知，该几何体的直观图为多面体，如图所示其中四边形是边长为4的正方形，所以，四边形和为全等的直角梯形，所以，，四边形是菱形，其对角线长分别为和，所以，所以该几何体的表面积为，故选C.30．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】将三棱锥放到正方体中，由三棱锥的三视图知，是等腰直角三角形，，，，，,三棱锥的表面积为：,故选.31．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．22π3 B．C．25π3 D．【答案】C【解析】由几何体的三视图，可确定该几何体为一个大球的34，和一个小球的1由题意可得，大球的半径为2，小球的半径为1，所以该几何体的体积为3432．如图，某几何体的三视图都是边长为的正方形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，在棱长为1的正方体