高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算习题含解析新人教A版选修1-2

PAGE4-第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算A级基础巩固一、选择题1．复数(1＋i)(1＋ai)是实数，则实数a等于()A．2B．1C．0D解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是实数，则1＋a＝0，所以a＝－1.答案：D2．复数z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：z＝eq\f(－1＋i,1＋i)－1＝eq\f(（－1＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)－1＝eq\f(－1＋i＋i－i2,2)－1＝i－1＝－1＋i，则复数z对应的点为(－1，1)，此点在其次象限．答案：B3．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2－2z,z－1)＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：因为z＝1－i，所以eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(（1－i）2－2（1－i）,1－i－1)＝eq\f(－2,－i)＝－2i.答案：B4．复数z为纯虚数，若(3－i)·z＝a＋i(i为虚数单位)，则实数a的值为()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3解析：由已知设z＝ki(k∈R，且k≠0)，则(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，由两个复数相等的充要条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝a，,3k＝1，))解得a＝k＝eq\f(1,3).答案：A5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋答案：A二、填空题6．已知a，b∈R，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·＝________．解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.所以eq\f(z,i)＋i·＝eq\f(1＋i,i)＋i(1－i)＝eq\f(i（1＋i）,－1)＋i＋1＝2.答案：28．下面关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的结论，正确的命题是________(填序号)．①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.解析：z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2（－1－i）,（－1＋i）（－1－i）)＝－1－i，所以|z|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．答案：②④三、解答题9．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数是，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，＝1－i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)因为a、b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝a2＋4a，,a－2b＝4（a＋2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2.))10．已知复数z满意z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，所以z的共轭复数z＝－2－4i.(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，所以|w|＝eq\r(（－2）2＋（a＋4）2)＝eq\r(20＋a2＋8a)，|z|＝2eq\r(5).依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a所以－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8，0]．B级实力提升1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，所以eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．答案：D 2．(2024·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则eq\f(4i（2＋i）,z·\o(z,\s\up6(－))－1)＝________．解析：因为z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，所以eq\f(4i（2＋i）,z·z－1)＝eq\f(4i（2＋i）,4)＝i(2＋i)＝2i－1.答案：2i－13．已知复数z＝eq\f(（1＋i）2＋2（5－i）,3＋i).(1)求|z|；(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．解：(1)因为z＝eq\f(2i＋10－2i,3＋i)＝eq\f(10,3＋i)＝eq\f(10（3－i）,10)＝3－i，所以|z|＝eq\r(10).(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)