2024-2025学年高中数学3.1.2导数的概念课时作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-课时作业22导数的概念学问点一求瞬时速度1.y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时改变率是()A.2 B.3C.4 D.5答案B解析Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx,Δx)＝3，∴当Δx趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)趋近于3.故选B.2．假如质点A依据规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A.6 B.18C.54 D.81答案B解析∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴eq\f(Δs,Δt)＝18＋3Δt.∴eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(18＋3Δt)＝18，故应选B.学问点二导数的定义3.函数f(x)在x0处可导，则eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)()A.与x0、h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D．与x0、h均无关答案B解析由导数的概念可知，eq\o(lim,\s\do10(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B.4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满意eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)＝()A.－2 B.－1C.1 D.2答案B解析∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，∴选B.学问点三导数的实际意义5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并说明它的实际意义．解依据导数的定义，得eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq\f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，所以，f′(2)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即假如保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m3.易错点导数的概念理解不明6.已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝________.易错分析本题易忽视分子中x的增量为(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母中x的增量为Δx，两者增量不一样，所以误认为题解为f′(x0)而出错．答案8解析eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)×2))＝2eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f′(x0)＝2×4＝8.

一、选择题1．在f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)中，Δx不行能()A.大于0 B.小于0C.等于0 D.大于0或小于0答案C解析由导数定义知Δx只是无限趋近于0，故选C.2．设函数在x＝1处存在导数，则eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝()A.f′(1) B.3f′(1)C.eq\f(1,3)f′(1) D.f′(3)答案C解析eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq\f(1,3)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,3)f′(1)．3．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A.12 B.6C.3 D.2答案B解析f′(1)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(31＋Δx2－3×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(3＋6Δx＋3Δx2－3,Δx)＝6.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝eq\f(1,8)t2，则t＝2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.1 D.2答案B解析s′|t＝2＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(\f(1,8)2＋Δt2－\f(1,8)×22,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)Δt＋\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，故选B.二、填空题5．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)，则f′(2)＝________.答案－eq\f(1,4)解析eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\a\vs4\al(\f(－Δx,22＋Δx)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－1,22＋Δx)＝－eq\f(1,4).6．已知f(x)＝eq\f(2,x)，则eq\o(lim,\s\do10(x→a))eq\f(fx－fa,x－a)＝________.答案－eq\f(2,a2)解析令x－a＝Δx，则x＝a＋Δx，eq\o(lim,\s\do10(x→a))eq\f(fx－fa,x－a)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\f(2,a＋Δx)－\f(2,a),Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－2,aa＋Δx)＝－eq\f(2,a2).7．已知f(x)＝eq\f(1,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,16)，则f(m)＝________.答案±eq\f(1,4)解析∵f(x)＝eq\f(1,x)，∴f′(m)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fm＋Δx－fm,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\f(1,m＋Δx)－\f(1,m),Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－1,mm＋Δx)＝－eq\f(1,m2).又f′(m)＝－eq\f(1,16)，∴－eq\f(1,m2)＝－eq\f(1,16).∴m＝±4.∴f(m)＝eq\f(1,m)＝±eq\f(1,4).三、解答题8．已知函数f(x)＝13－8x＋eq\r(2)x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．解∵f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f([13－8x0＋Δx＋\r(2)x0＋Δx2]－13－8x0＋\r(2)x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(－8Δx＋2\r(2)x0Δx＋\r(2)Δx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(－8＋2eq\r(2)x0＋eq\r(2)Δx)＝－8＋2eq\r(2)x0，∴－8＋2eq\r(2)x0＝4.∴x0＝3eq\r(2).9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，假如它的加速度是5.0×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．解位移公式为s＝eq\f(1,2)at2，∵Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝at0＋eq\f(1