2024-2025学年高考物理主题1静电场6电势差与电场强度的关系学案必修3

PAGEPAGE136电势差与电场强度的关系[学科素养与目标要求]物理观念：理解匀强电场中电势差与电场强度的关系：U＝Ed或E＝eq\f(U,d)，了解其适用条件.科学思维：1.会推导关系式U＝Ed.2.能利用关系式U＝Ed分析非匀强电场相关问题.3.对比有关电场强度的三个表达式及适用条件，并在详细问题中精确选用公式解决有关问题.4.会用等分法确定等势面和电场线.一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1.在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积.2.公式：UAB＝Ed.3.适用条件(1)匀强电场.(2)d为两点沿电场方向的距离.二、公式E＝eq\f(UAB,d)的意义1.意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离的比值.2.电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势.3.电场强度的另一个单位：由E＝eq\f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏[特]每米，符号为V/m.1V/m＝1N/C.1.推断下列说法的正误.(1)公式U＝Ed适用于全部电场.(×)(2)由U＝Ed可知，匀强电场中两点间的电势差与这两点的距离成正比.(×)(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值.(√)(4)在匀强电场中，随意两点间的电势差等于场强与这两点间距离的乘积.(×)2.如图1所示，场强为E＝1.0×102V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2m的A、B两点，A、B连线与电场方向的夹角为60°，则A、B两点间的电势差为________V.图1答案1.0解析U＝Edcos60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq\f(1,2)V＝1.0V.一、匀强电场中电势差与电场强度的关系如图所示的一个匀强电场，场强大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B之间相距为d.现将一个电荷量为q的电荷由A移到B.(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功.(2)比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系.(3)B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？答案(1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)两次做功大小相等UAB＝Ed(3)UAC＝Ed1.大小关系：由E＝eq\f(U,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的改变率，电势随空间改变的快慢反映了电场强度的大小.2.电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向.例1如图2所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ.若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差可表示为()图2A.UOP＝－10sinθ(V)B.UOP＝10sinθ(V)C.UOP＝－10cosθ(V)D.UOP＝10cosθ(V)答案A解析由题图可知匀强电场的方向是沿y轴负方向的，沿着电场线的方向电势是降低的，所以P点的电势高于O点的电势，O、P两点的电势差UOP为负值.依据电势差与场强的关系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，所以A正确.例2如图3所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm.求：图3(1)P板及A点的电势.(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？答案(1)－50V－30V(2)－10V解析板间场强方向水平向左，可见Q板电势最高.Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值.利用公式E＝eq\f(U,d)可求出板间匀强电场的场强，再由U＝Ed可求出各点与Q板间的电势差，即各点的电势.(1)场强E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V·m－1＝5×102V·m－1Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V所以A点电势φA＝－30V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50V(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝(10－5)cm＝5cmQ板与A点间距离变为d＝(10－4)cm－5cm＝1cm电场强度E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V·m－1＝1.0×103V·m－1Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V所以A点电势φA＝－10V.场强的三个表达式的比较1.E＝eq\f(F,q).定义式，适用于一切电场，其中q为摸索电荷的电荷量，E与q无关.2.E＝keq\f(Q,r2).点电荷场强公式，仅适用于真空中静止点电荷，其中Q为场源电荷的电荷量，E与Q成正比.3.E＝eq\f(U,d).匀强电场场强与电势差的关系式，适用于匀强电场的定量计算，也可用于非匀强电场的定性分析，其中d为沿电场方向的距离.二、非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析1.UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.由E＝eq\f(U,d)可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大.2.如图4所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小不能确定.图4例3如图5所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50V，φc＝20V，则a、c连线中点b的电势φb为()图5A.等于35V B.大于35VC.小于35V D.等于15V答案C解析从电场线疏密可以看出ab段场强大于bc段场强，由U＝Ed可以推断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V.三、用等分法确定等势线和电场线1.在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U＝Ed，其中d为两点沿电场方向的距离.由公式U＝Ed可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图6甲所示.图6结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示.2.确定电场方向的方法先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后依据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.例4如图7所示，ABCD是匀强电场中平行于电场线的矩形的四个顶点，A、B、C三点电势分别为φA＝8V，φB＝2V，φC＝3V，则D点的电势为()图7A.7VB.6VC.10VD.9V答案D解析因为UAB＝UDC，即8V－2V＝φD－3V，故φD＝9V，选项D正确.例5(多选)如图8所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是()图8答案BC解析依据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH＝4V，φF＝3V，G的电势φG＝eq\f(5V＋3V,2)＝4V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF＝3V，可知电场线与CF垂直，故选B、C.[学科素养]等分法是在理解电势差与电场强度关系基础上的应用，通过等分法相关习题的练习，提升了学生综合分析问题的实力和建模实力，体现了“科学思维”的学科素养.1.(公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解)对公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是()A.公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差B.由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大C.由E＝eq\f(UAB,d)知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小D.公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离答案D2.(公式UAB＝Ed的应用)(2024·济南市期末)如图9所示，沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正向(E方向)成θ角(θ<eq\f(π,2))，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为()图9A.U＝Er B.U＝Er(sinθ＋1)C.U＝Er(cosθ＋1) D.U＝2Er答案C解析由U＝Ed知，与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，dmax＝r＋rcosθ，所以Umax＝Er(cosθ＋1)，C项正确.3.(应用UAB＝Ed定性分析非匀强电场)(2024·天津试验中学段考)如图10所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是()图10A.电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小B.电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大C.电势差UAB＝UBCD.电势φA<φB<φC答案B解析由等势线分布和电子速度改变可知该电场为负点电荷的电场，电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大，选项A错误；依据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；依据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB<EBC，故电势差UAB<UBC，选项C错误；电势φA>φB>φC，选项D错误.4.(等分法确定电势和电场强度)a、b、c是匀强电场中的三个点，各点电势分别为φa＝10V，φb＝2V，φc＝6V，a、b、c三点所在平面与电场方向平行，下列各图中电场强度的方向表示正确的是()答案D解析由于是匀强电场，因此a、b连线的中点与c点电势相等，电场强度的方向垂直于等势面且由高电势处指向低电势处，所以D正确.5.(公式UAB＝Ed的应用)平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图11所示，两板间距离是5cm，两板间的电压是60V.图11(1)两板间的场强大小是________；(2)电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5cm，P2点离B板也是0.5cm，P1和P2两点间的电势差U12＝________.答案(1)1.2×103V/m(2)48V解析(1)两板间是匀强电场，由UAB＝Ed可得两板间的场强E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(60V,5×10－2m)＝1.2×103V/m.(2)P1、P2两点间沿场强方向的距离：d′＝4cm.所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2V＝48V.一、选择题考点一公式UAB＝Ed及E＝eq\f(UAB,d)的理解1.(多选)下列说法正确的是()A.由公式E＝eq\f(U,d)得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比B.由公式E＝eq\f(U,d)得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小C.在匀强电场中，随意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积D.公式E＝eq\f(U,d)只适用于匀强电场答案CD2.(2024·聊城市高一下期末)如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，用Uab、Ubc分别表示a、b和b、c两点的电势差，可以判定()图1A.Ea＝Eb＝Ec B.Ea>Eb>EcC.φa>φb>φc D.Uab＝Ubc答案C解析沿电场线方向电势降低，φa>φb>φc，C正确；仅由一条电场线无法确定场强大小关系，A、B错误；只有匀强电场Uab＝Ubc，D错误.考点二公式UAB＝Ed和E＝eq\f(UAB,d)的简洁应用3.如图2所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面间的距离都是25cm，由此可确定此电场的电场强度的方向及大小为()图2A.竖直向下，E＝0.4V/mB.水平向右，E＝0.4V/mC.水平向左，E＝40V/mD.水平向右，E＝40V/m答案D解析电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低，故场强方向水平向右，场强大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(10,0.25)V/m＝40V/m，故D项正确.4.(多选)如图3所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN.P点在y轴右侧，MP⊥ON.则下列说法正确的是()图3A.M点的电势比P点的电势高B.将负点电荷由O点移动到P点，电场力做正功C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差答案AD解析依据电场线和等势面的关系，可以推断出M点的电势比P点的电势高，A正确.将负点电荷由O点移到P点，电场力做负功，B错误.依据U＝Ed进行定性分析可知UMN＜UOM，C错误，D正确.cm，C点离A板4cm，下列说法正确的是()图4A.E＝2000V/m，φC＝200VB.E＝5000V/m，φC＝－200VC.电子在C点具有的电势能为－200eVD.电子在C点具有的电势能为200eV答案BDV/m，eV，C错误，D正确.考点三匀强电场中的电场力做功与场强、电势差的关系6.如图5所示的匀强电场场强为103N/C，ab、cd平行于电场线，ac、bd垂直于电场线，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.则下述计算结果正确的是()图5A.a、b之间的电势差为40VB.a、c之间的电势差为50VC.将q＝－5×10－3C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25JD.将q＝－5×10－3C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25J答案A解析由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V，A正确；a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40J＝－0.2J，D错误.7.如图6所示，在电场强度E＝2×103V/m的匀强电场中有三点A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且AM边平行于电场线，把一电荷量q＝2×10－9C的正电荷从B点移动到M点，再从M点移动到A点，电场力做功为()图6A.1.6×10－7J B.1.2×10－7JC.－1.6×10－7J D.－1.2×10－7J答案C1.6×10－7J.8.(多选)细胞膜的厚度等于700nm(1nm＝10－9m)，当膜的内外层之间的电压达0.4V时，即可让一价钠离子渗透.设细胞膜内的电场为匀强电场，则当一价钠离子恰好渗透时，()A.膜内电场强度为5.71×105V/mB.膜内电场强度为1.04×106V/mC.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于6.4×10－20JD.每个钠离子沿电场方向透过膜时电场力做的功等于1.28×10－19J答案AC解析E＝eq\f(U,d)＝eq\f(0.4,7×10－7)V/m≈5.71×105V/m，A正确，B错误；W＝qU＝1.6×10－19×0.4J＝6.4×10－20J，C正确，D错误.考点四等分法确定等势线和电场线9.(多选)如图7所示，图中五点均在匀强电场中，它们分别是一个圆的四个等分点和圆心.已知电场线与圆所在平面平行.下列有关圆心O和等分点a的电势、电场强度的相关描述正确的是()图7A.a点的电势为6VB.a点的电势为－2VC.O点的场强方向指向a点D.O点的场强方向指向电势为2V的点答案AD解析在匀强电场中，沿某始终线若存在电势改变，则沿与该直线平行的其他直线也会存在相同的电势改变规律，所以有10V－6V＝φa－2V，解得φa＝6V，A项正确，B项错误；O点与a点处于同一等势面上，所以O点场强方向垂直Oa连线指向电势为2V的点，C项错误，D项正确.10.如图8所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()图8A.200V/m B.200eq\r(3)V/mC.100V/m D.100eq\r(3)V/m答案A解析在匀强电场中，沿某一方向电势着陆，则在这一方向上电势匀称着陆，故OA的中点C的电势φC＝3V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上.O点到BC的距离d＝eq\x\to(OC)sinα，而sinα＝eq\f(\x\to(OB),\r(\x\to(OB)2＋\x\to(OC)2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)eq\x\to(OC)＝1.5×10－2m.依据E＝eq\f(U,d)得，匀强电场的电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故选项A正确.二、非选择题11.(2024·南京市高一期末)如图9所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5J，已知A、B两点间的距离为2cm，两点连线与电场线成60°角.图9(1)求A、B两点间的电势差UAB；(2)若A点的电势φA＝－1V，求B点的电势φB；(3)求电场强度E的大小，并推断其方向.答案(1)30V(2)－31V(3)3000V/m沿电场线指向左下方解析(1)由题意知，静电力做负功为WAB＝－3×10－5J由UAB＝eq\f(WAB,q)，得：UAB＝30V(2)UAB＝φA－φB故φB＝φA－UAB＝(－1－30)V＝－31V(3)A、B两点间沿电场线方向的距离为：d＝2×10－2cos60°m＝1×10－2m.从而得：E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(30,0.01)V/m＝3000V