2025版高考数学一轮复习课后限时集训55随机事件的概率古典概型与几何概型含解析理

PAGE1-课后限时集训(五十五)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2024·辽宁联考)某商场实行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形态、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，随意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10) C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)C[设事务A为“中奖”，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选C.]2．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事务：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事务共有()A．0组 B．1组C．2组 D．3组B[①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰有1个白球和1个黄球，①中的两个事务不是互斥事务．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事务不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事务是同一事务．④中两事务不能同时发生，也可能都不发生，因此两事务是互斥事务，但不是对立事务，故选B.]3．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满意题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率P＝eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故选C.]4．在区间[0，π]上随机取一个数x，使cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)与eq\f(\r(3),2)之间的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)B[cosx的值介于－eq\f(\r(3),2)与eq\f(\r(3),2)之间的区间长度为eq\f(5π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).由几何概型概率计算公式，得P＝eq\f(\f(2π,3),π－0)＝eq\f(2,3).故选B.]5.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落在阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数约为()A．3333 B．6667C．7500 D．7854B[题图中阴影部分的面积为eq\i\in(0,1,)(1－x2)＝，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n，由几何概型的概率计算公式可知，eq\f(\f(2,3),1)＝eq\f(n,10000)，n≈6667，故选B.]二、填空题6．从3名男同学，2名女同学中任选2人参与学问竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________．eq\f(9,10)[所求概率为P＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).]7.(2024·湖北四校联考)如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为________．eq\f(1,2)[设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2).]8．若采纳随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．0.4[依据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为75279857863669474698804595977424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为eq\f(8,20)＝0.4.]三、解答题9．(2024·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，接着购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险状况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事务：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事务：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事务A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq\f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事务B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq\f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.10．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,12).B组实力提升1．(2024·武汉模拟)一张储蓄卡的密码共有6位数字组成，每位数字都可以是0～9中的随意一个．某人在银行自动取款机上取钱时，遗忘了密码的最终一位数字，假如随意按最终一位数字，不超过2次就按对的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,10)C[依题意知，最终一位数字是0～9这10个数字中的随意一个，则按1次按对的概率为eq\f(1,10)；按2次按对的概率为eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).由互斥事务的概率计算公式得所求的概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,5)，故选C.]2.(2024·济南模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力嬉戏，被誉为“东方魔板”．如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形．现从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,16) D.eq\f(3,8)C[设大正方形的面积为4S，则5号板与7号板的面积之和为eq\f(3,4)S，所以从这个大正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是eq\f(\f(3,4)S,4S)＝eq\f(3,16).]3．(2024·太原一模)某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．eq\f(2,5)[利用隔板法将7元分成3个红包，共有Ceq\o\al(2,6)＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种状况，共有Aeq\o\al(2,2)＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种状况，共有Aeq\o\al(2,2)＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种状况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是eq\f(3＋2＋1,15)＝eq\f(2,5).]4.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．依据历年的种植阅历，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．[解](1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数