2025版高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案文含解析北师大版

PAGE1-第三节平面对量的数量积与平面对量应用举例[考纲传真]1.理解平面对量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面对量的数量积与向量投影的关系.3.驾驭数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积推断两个平面对量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简洁的平面几何问题.6.会用向量方法解决简洁的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(OB,\s\up13(→))＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角．(2)范围：0°≤∠AOB≤180°.(3)向量垂直：∠AOB＝90°时，a与b垂直，记作a⊥b.规定：零向量可与任一向量垂直．2．平面对量的数量积(1)射影的定义设θ是a与b的夹角，则|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．(2)平面对量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|·cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积．3．平面对量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面对量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))eq\o([常用结论])1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面对量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，向量eq\o(AB,\s\up13(→))与eq\o(BC,\s\up13(→))的夹角为∠B． ()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ()(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角． ()(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()A．－4B．4C．eq\f(32,7)D．－eq\f(32,7)A[a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A．]3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6eq\r(3)，则a与b的夹角θ为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)D[cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6\r(3),2×6)＝－eq\f(\r(3),2)，又0≤θ≤π，则θ＝eq\f(5π,6)，故选D．]4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.2[由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2[由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.]平面对量数量积的运算1．(2024·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B．]2．已知eq\o(AB,\s\up13(→))＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量eq\o(AB,\s\up13(→))在eq\o(CD,\s\up13(→))方向上的投影为()A．－eq\f(3\r(2),2) B．－3eq\r(5)C．eq\f(3\r(2),2) D．3eq\r(5)C[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又eq\o(AB,\s\up13(→))＝(2,1)，所以向量eq\o(AB,\s\up13(→))在eq\o(CD,\s\up13(→))方向上的投影为|eq\o(AB,\s\up13(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up13(→))·\o(CD,\s\up13(→)),|\o(CD,\s\up13(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故选C．]3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))的值为()A．－eq\f(5,8)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4)D．eq\f(11,8)B[如图所示，eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(DF,\s\up13(→)).又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))，所以eq\o(AF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→)).又eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))，则eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up13(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up13(→))))·(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))2＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))2－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up13(→))·eq\o(AB,\s\up13(→)).又|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝1，∠BAC＝60°，故eq\o(AF,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)×1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).故选B．][规律方法]平面对量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．平面对量数量积的应用►考法1求向量的模【例1】(1)已知平面对量a，b的夹角为eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up13(→))＝2a＋2b，eq\o(AC,\s\up13(→))＝2a－6b，D为BC中点，则|eq\o(AD,\s\up13(→))|等于()A．2B．4C．6D．8(2)(2024·广州模拟)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|等于()A．4B．2C．eq\r(2)D．1(1)A(2)D[(1)因为eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq\o(AD,\s\up13(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2×2×\r(3)×cos\f(π,6)＋4))＝4，则|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝2.(2)由|a－2b|＝2，得(a－2b)2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4，即|a|2－4|a||b|cos60°＋4|b|2＝4，即|b|2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选D．]►考法2求向量的夹角【例2】(1)已知向量a，b满意(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．(1)C(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3))[(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0，∴5a2＋6a·b－8b2＝0.又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,3)，故选C．(2)因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－eq\f(9,2).当k＝－eq\f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，3)).]►考法3平面对量的垂直问题【例3】(1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．(2)已知向量eq\o(AB,\s\up13(→))与eq\o(AC,\s\up13(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up13(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up13(→))＝λeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→))，且eq\o(AP,\s\up13(→))⊥eq\o(BC,\s\up13(→))，则实数λ的值为________．(1)－5(2)eq\f(7,12)[(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.(2)由eq\o(AP,\s\up13(→))⊥eq\o(BC,\s\up13(→))得eq\o(AP,\s\up13(→))·eq\o(BC,\s\up13(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AC,\s\up13(→)))·(eq\o(AC,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→)))＝0，∴(λ－1)eq\o(AB,\s\up13(→))·eq\o(AC,\s\up13(→))－λeq\o(AB,\s\up13(→))2＋eq\o(AC,\s\up13(→))2＝0，即－3(λ－1)－9λ＋4＝0.解得λ＝eq\f(7,12).][规律方法]平面对量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，要留意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(1)(2024·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)(2024·山东高考)已知e1，e2是相互垂直的单位向量．若eq\r(3)e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．(1)2eq\r(3)(2)eq\f(\r(3),3)[(1)法一：|a＋2b|＝eq\r(a＋2b2)＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(22＋4×2×1×cos60°＋4×12)＝eq\r(12)＝2eq\r(3).法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|eq\o(OC,\s\up13(→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq\r(3).(2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|eq\r(3)e1－e2|＝eq\r(\r(3)e1－e22)＝eq\r(3e\o\al(2,1)－2\r(3)e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(3－0＋1)＝2.同理|e1＋λe2|＝eq\r(1＋λ2).所以cos60°＝eq\f(\r(3)e1－e2·e1＋λe2,|\r(3)e1－e2||e1＋λe2|)＝eq\f(\r(3)e\o\al(2,1)＋\r(3)λ－1e1·e2－λe\o\al(2,2),2\r(1＋λ2))＝eq\f(\r(3)－λ,2\r(1＋λ2))＝eq\f(1,2)，解得λ＝eq\f(\r(3),3).]平面对量与三角函数的综合【例4】(2024·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－eq\r(3))，a∥b，所以－eq\r(3)cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1冲突，故cosx≠0.于是tanx＝－eq\f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝eq\f(5π,6).(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－eq\r(3))＝3cosx－eq\r(3)sinx＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).因为x∈[0，π]，所以x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，从而－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤eq\f(\r(3),2).于是，当x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋eq\f(π,6)＝π，即x＝eq\f(5π,6)时，f(x)取到最小值－2eq\r(3).[规律方法]平面对量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为eq\f(π,3)，求x的值．[解](1)因为m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(2),2)sinx－eq\f(\r(2),2)cosx＝eq\f(1,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝eq\f(1,2)，因为0＜x＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)＜x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,4)，所以x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π,12).1．(2024·全国卷Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30°B．45°C．60°D．120°A[