2024-2025学年高中数学第一章解三角形1.1.2.1余弦定理1练习含解析新人教A版必修5

PAGE1-第3课时余弦定理(1)学问点一已知两边及其夹角解三角形1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．3D．4答案A解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，∴c＝eq\r(3)．2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(eq\r(3)＋1)，则b＝________．答案4eq\r(6)解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(eq\r(3)＋1)]2－2×8×4(eq\r(3)＋1)×cos60°＝64＋16(4＋2eq\r(3))－64(eq\r(3)＋1)×eq\f(1,2)＝96，∴b＝4eq\r(6)．学问点二已知两边及一边对角解三角形3．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8答案B解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0．∵b＞0，∴b＝8．故选B．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，且b＜c，则b＝()A．eq\r(3)B．2C．2eq\r(2)D．3答案B解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．∵b＜c，∴b＝2．故选B．学问点三已知三边解三角形5．在△ABC中，a＝3，b＝eq\r(7)，c＝2，那么B等于()A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(9＋4－7,12)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°．6．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC．解由题意可知，a＞c＞b，∴A为最大角，cosA＝eq\f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，又∵A为△ABC的内角，∴A＝eq\f(2π,3)．由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(7,\f(\r(3),2))＝eq\f(5,sinC)，∴sinC＝eq\f(5\r(3),14)．学问点四余弦定理的推论7．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))答案C解析∵a是最大的边，∴A＞eq\f(π,3)．∵a2＜b2＋c2，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0．∴A＜eq\f(π,2)，故eq\f(π,3)＜A＜eq\f(π,2)．故选C．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)答案D解析依题意，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)·tanB＝eq\f(\r(3),2)，所以由余弦定理，得cosBtanB＝eq\f(\r(3),2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,3)或B＝eq\f(2π,3)．故选D．易错点一忽视三角形中边的隐含关系9．在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围．易错分析易忽视两边之和大于第三边即c＜3，错解为c∈(eq\r(5)，＋∞)．解∵在钝角三角形ABC中，c为最大边，∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0．∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞eq\r(5)．又c＜b＋a＝3，∴eq\r(5)＜c＜3，即c的取值范围是(eq\r(5)，3)．易错点二运算时定理选错10．如图，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝eq\r(19)，∠BAD＝60°，求梯形的高．易错分析本题易选用正弦定理致计算冗杂出错，审清题干条件通过余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用．解由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD×cos∠ADC，即19＝AD2＋4－2AD×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得AD＝3或AD＝－5(舍去)．在△ADE中，DE＝ADsin60°＝eq\f(3\r(3),2)．一、选择题1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5答案D解析∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝eq\f(1,25)，∴cosA＝±eq\f(1,5)．∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝eq\f(1,5)，又∵a＝7，c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－eq\f(12,5)b．∴b＝5或b＝－eq\f(13,5)(舍去)．∴b＝5．故选D．2．在△ABC中，若AB＝eq\r(3)－1，BC＝eq\r(3)＋1，AC＝eq\r(6)，则B的大小为()A．30° B．45°C．60° D．120°答案C解析∵cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB×BC)＝eq\f(\r(3)－12＋\r(3)＋12－\r(6)2,2\r(3)－1\r(3)＋1)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°．3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)答案C解析由sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，代入整理，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(a,c＋b)⇒c2－b2＝ac－a2，所以a2＋c2－b2＝ac，故由余弦定理，得cosB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,3)．4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f(3\r(10),10)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(2\r(5),5)答案B解析如图所示，在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，得a2＝(eq\r(2)a)2＋(eq\r(5)a)2－2×eq\r(2)a×eq\r(5)a×cos∠DAC，解得cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10)．故选B．5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，则eq\f(sin2A,sinC)＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(1,2)C．1D．2答案C解析由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(25＋36－16,2×5×6)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin2A,sinC)＝eq\f(2sinAcosA,sinC)＝eq\f(2acosA,c)＝eq\f(4cosA,3)＝1．故选C．二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．答案eq\f(61,2)解析∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，∴bccosA＝eq\f(1,2)(b2＋c2－a2)．同理，accosB＝eq\f(1,2)(a2＋c2－b2)，abcosC＝eq\f(1,2)(a2＋b2－c2)．∴bccosA＋accosB＋abcosC＝eq\f(1,2)(a2＋b2＋c2)＝eq\f(61,2)．7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosAsinC，则b的值为________．答案3解析由正弦定理与余弦定理，知sinB＝6cosAsinC可化为b＝6·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)·c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b≠0，计算得b＝3．8．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b2＋c2－a2＝bc．若a＝eq\r(3)，cosC＝eq\f(\r(3),3)，则b＝________．答案1＋eq\f(\r(6),3)解析由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,3)．∵cosC＝eq\f(\r(3),3)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(6),3)．由正弦定理，知eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6),3),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(6),3)，∴b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)))2－(eq\r(3))2＝eq\f(2\r(6),3)b，解得b＝1＋eq\f(\r(6),3)或b＝－1＋eq\f(\r(6),3)(舍去)．三、解答题9．在△ABC中，已知sinC＝eq\f(1,2)，a＝2eq\r(3)，b＝2，求边c．解∵sinC＝eq\f(1,2)，且0<C<π，∴C为eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)．当C＝eq\f(π,6)时，cosC＝eq\f(\r(3),2)，此时，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2．当C＝eq\f(5π,6)时，cosC＝－eq\f(\r(3),2)，此时，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2eq\r(7)．10．已知在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋b