2025版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算讲义理含解析

PAGEPAGE11第1讲集合的概念与运算[考纲解读]1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述详细问题．2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4.能运用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考中的热点．预料2024年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简洁综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：eq\o(□,\s\up3(01))确定性、eq\o(□,\s\up3(02))互异性、eq\o(□,\s\up3(03))无序性．(2)元素与集合的关系有eq\o(□,\s\up3(04))属于或eq\o(□,\s\up3(05))不属于两种，用符号eq\o(□,\s\up3(06))∈或eq\o(□,\s\up3(07))∉表示．(3)集合的表示法：eq\o(□,\s\up3(08))列举法、eq\o(□,\s\up3(09))描述法、eq\o(□,\s\up3(10))图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔eq\o(□,\s\up3(01))B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔eq\o(□,\s\up3(02))A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(03))U；A∩(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(04))∅；∁U(∁UA)＝eq\o(□,\s\up3(05))A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为eq\o(□,\s\up3(06))2n个，非空子集个数为eq\o(□,\s\up3(07))2n－1个，真子集有eq\o(□,\s\up3(08))2n－1个，非空真子集的个数为eq\o(□,\s\up3(09))2n－2个．

1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于随意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}答案A解析A∩B＝{x|－2<x<－1}．(2)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}答案D解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．(3)已知集合A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析∵A＝{1,3，eq\r(m)}，B＝{1，m}，B⊆A，∴m＝3或m＝eq\r(m)，∴m＝3或0或1，经检验m＝0或3.(4)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)，y))，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．答案∅，{0}，{4}，{0,4}解析由题意得eq\f(8,x)＝x2，y＝0，解得x＝2，所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型eq\a\vs4\al(一)集合的基本概念1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)答案D解析当a＝0时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此时A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))，符合题意．综上知a＝0或eq\f(9,8).2．(2024·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案A解析∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a答案0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清晰集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满意什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满意x2＋y2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应留意检验．(2)忽视分类探讨．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种状况探讨．1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4答案A解析若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案C解析令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得k＝－eq\f(10,3)∉Z，故－11∉A；令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，所以3k2－1∈A.所以C项正确．题型eq\a\vs4\al(二)集合间的基本关系1．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2024＋b2024为()A．1B．0C．－1D．±1答案A解析∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.∴b＝0，a2＝1，又∵a≠1，∴a＝－1，∴a2024＋b2024＝1.2．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,4)＋\f(π,4)，k∈Z))))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(kπ,8)－\f(π,4)，k∈Z))))，则()A．MN B．NMC．M＝N D．以上都不对答案A解析∵eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,4)＝eq\f(2k＋1,8)π，k∈Z，eq\f(kπ,8)－eq\f(π,4)＝eq\f(k－2,8)π，k∈Z，∴任取x∈M，有x∈N，且eq\f(π,8)∈N，但eq\f(π,8)∉M，∴MN.3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m答案(－∞，3]解析因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m②若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.条件探究1举例说明3中的集合B改为“B＝{x|m≤x≤m＋1}”，其余不变，该如何求解？解B＝{x|m≤x≤m＋1}≠∅，为使B⊆A，m须满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2，,m＋1≤5，))解得－2≤m≤4.条件探究2举例说明3中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，如何求解？解因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1<m＋1时，m②当B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1>5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1<－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m>4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<－\f(1,2)，))即m>4.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．推断集合间关系的三种方法列举法依据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．如举例说明1结构法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行推断．如举例说明2数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．如举例说明32．依据集合间的关系求参数的策略(1)留意对集合是否为空集进行分类探讨因为∅⊆A对随意集合A都成立．如举例说明3中2m－1<m＋1时，B＝∅，B⊆A(2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．(3)留意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若B≠∅，为使B⊆A，m须满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1>m＋1，,m＋1>－2，,2m－1≤5.))1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则()A．B⊆AB．A＝BC．ABD．BA答案C解析由题意得A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，∴AB.2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．a≥2B．a>2C．a<0D．a≤0答案A解析∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满意a≥2.3．满意{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．答案7解析集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型eq\a\vs4\al(三)集合的基本运算角度1集合的并、交、补运算1．(2024·天津高考)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}答案C解析因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．2．(2024·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案D解析因为A＝{y|y＝eq\r(x2－1)}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以A∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).角度2知集合的运算结果求参数3．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.答案1或2解析A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.综上知m＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明3中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创建有利条件．如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁UN)＝(－3，－1)．2．(2024·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案B解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.3．(2024·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]答案C解析集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．题型eq\a\vs4\al(四)集合的新定义问题已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于随意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a