2024年高考数学一轮复习专题19同角三角函数基本关系式及诱导公式含解析

PAGEPAGE1专题19同角三角函数基本关系式及诱导公式最新考纲1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.基础学问融会贯穿1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限【学问拓展】1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变更．重点难点突破【题型一】同角三角函数关系式的应用【典型例题】α是第四象限角，tanα，则sinα＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵α是第四象限角，，∴cosα，∴sinα．故选：B．

【再练一题】已知，若θ是其次象限角，则tanθ的值为（）A． B．﹣2 C． D．【解答】解：∵，∴sin2θ+cos2θ＝（）2+（）2＝1，解得：a＝0，或a＝4，∵θ为其次象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a＝4，∴可得：sinθ，cosθ，tanθ．故选：C．

思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要依据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时留意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)留意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【题型二】诱导公式的应用【典型例题】已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A． B． C． D．【解答】解：cos（60°﹣α）＝sin[90°﹣（60°﹣α）]＝sin（30°+α），故选：C．

【再练一题】已知，则（）A．5 B．﹣5 C． D．【解答】解：∵，∴2，解得：tanα＝﹣5，∴．故选：C．

思维升华(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，要利用诱导公式一，然后再进行运算．【题型三】同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【典型例题】已知cos（α），|α|，则tanα等于（）A．﹣2 B．2 C． D．【解答】解：∵cos（α）＝﹣sinα，|α|，∴sinα，cosα，∴tanα2．故选：A．

【再练一题】已知，θ在第四象限，则．【解答】解：∵，θ在第四象限，∴sinθ，∴sinθ．故答案为：．

思维升华(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，敏捷运用公式进行变形．(2)留意角的范围对三角函数符号的影响．基础学问训练1．【河北省深州中学2024-2025学年高一下学期期末考试】若，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为tan＝3，所以cos所以：.故选B.2．【四川省凉山州2024-2025学年高一上学期期末检测】已知是第三象限角，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，得sinα，故选：D．3．【安徽省淮北师范高校附属试验中学2024-2025学年高一下学期其次次月考】已知，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴两边平方可得：，∴即故选：D.4．【甘肃省天水市第一中学2024-2025学年高一下学期其次次段考】的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选A.5．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设可得，即．故选C．6．若角的终边经过点，则()A． B． C． D．【答案】C【解析】由诱导公式可得，又角的终边经过点，所以，所以．故选C．7．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2024-2025学年高二下学期联考（第三次月考)】已知，则（）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，故选D.8．已知，则的值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】==故选：C9．【宁夏石嘴山市第三中学2024-2025学年高一5月月考】下列不等式中，成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦函数的性质和诱导公式，可得，所以A不正确；由，依据余弦函数的单调性，可得，所以，所以B正确；由，，因为，所以C不正确；由，所以D不正确，故选B.10．【2024年山西省太原市高三模拟试题（二)】已知，且，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】有，得，，，由于，所以，故选A.11．sin330°–cos240°+tan150°的值为__________．【答案】【解析】sin330°–cos240°+tan150°＝sin（360°–30°）–cos（180°+60°）+tan（180°–30°）＝–sin30°+cos60°–tan30°．故答案为：．12．已知sin（），则sin（2）＝__________．【答案】【解析】解：由sin（），可得=，即：，，即：，即：，故答案：.13．【甘肃省兰州市第一中学2024-2025学年高一5月月考】已知，则的值是_______.【答案】0【解析】=.故答案为：014．【河南省南阳市第一中学2024-2025学年高一下学期第四次月考】设，用“<”把排序__________．【答案】【解析】，由于，且在上递减，故，即，而，故.15．【四川省凉山州2024-2025学年高一上学期期末检测】已知，则__________.【答案】【解析】∵=故答案为．16．【吉林省蛟河市一中2024-2025学年高一下学期第三次测试】设，则的最大值为_____【答案】【解析】令，则因为，所以原式可化为，因为函数在上是增函数，所以当时，.17．【宁夏石嘴山市第三中学2024-2025学年高一5月月考】若2，则_____．【答案】【解析】由题意知，得，代入，解得，所以，所以．故答案为：．18．【甘肃省会宁县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试】已知角的终边经过点，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为已知角的终边经过点，且，所以有，求得；（2）由（1）可得，，原式===．19．已知2．（1）求tan（）的值；（2）求3sin2θ+4cos2θ的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵2，∴tanθ，∴tan2θ．∴tan（）．（2）由（1）知，tanθ，∴3sin2θ+4cos2θ＝6sinθcosθ+4（cos2θ–sin2θ）．20．【上海市华东师范高校其次附属中学2024-2025学年高一下期中考试】已知．（1）求的值；（2）若为其次象限的角，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），平方得，得，得．（2）若为其次象限的角，，，则．实力提升训练1．【2024年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．【答案】【解析】∵，即2sinαcosα=．又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．故答案为：．2．已知，则________________．【答案】或.【解析】由题意可得，两边平方可得，则，则或，所以或0．3．【内蒙古第一机械制造（集团)有限公司第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试】的内角的对边分别为，已知.则__________【答案】【解析】解：因为，所以，所以，因为，所以，解得：或，因为所以.4．【贵州省贵阳市2025届高三5月适应性考试（二)】的内角的对边分别为，且，则__________．【答案】【解析】由题意结合正弦定理有：，即，整理变形可得：，，即.5．【福建省福州市三校联盟（连江文笔中学、永泰城关中学、长乐高级中学)2024-2025学年高一下学期期中考试】已知，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立．所以．6．【江西省宜春市2025届高三4月模拟考试】函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】解：f（x）＝x3+2024x﹣2024﹣x+1，可得f（x）＝﹣x3+2024﹣x﹣2024x+1，则f（x）+f（x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（x）+f（x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x）在R上递增，f（x）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2+（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则msin（θ），则，则g（m）＝m2+m﹣2，其对称轴m，故当m时，g（m）取的最大值，最大值为2．则t，故答案为：（，+∞）7．【安徽省示范中学2024-2025学年高一下学期联考】已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）（2）因为，即，所以整理得：，则，即8．【四川省泸州市2024-2025学年高一上学期期末统一考试】已知．（1）若在第三象限，求的值．（2）求的值．【答案】（1）；（2）-3.【解析】由于．所以，又在第三象限，故：，，则：