《浅析二重积分的计算》9600字（论文）

页第2页MACROBUTTONAcceptAllChangesShown（双击页眉后，单击此处输入你的论文题目即可）第2页二重积分的计算摘要：本文从一重积分开始，简单的介绍了一重积分的定义、性质以及计算等。在此基础上展开本文的主要研究内容二重积分的计算。本文主要对二重积分的计算进行详细的讲述，对二重积分的定义、性质以及分解计算步骤做出了简单的介绍。最后，又加入了一些关于曲线积分的计算方法。关键词：一重积分;二重积分;积分限;积分区域;积分次序;曲线积分。前言：二重积分是二元函数在空间上的积分，即求某种形式总和的极限，本质是求曲顶圆柱体的体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积、平面薄板的重心等，一重积分通常被称作定积分，而二重积分是定积分在高维空间的延伸与拓展，而曲面积分也就是平面区域的二重积分转化为高维空间的曲面上进行积分。与定积分类似，二重积分也具有比较性和估值性。同时，二重积分也具有一定的几何意义，例如在空间直角坐标系中，二重积分则可以表示部分区域上主体体积的代数和。所以，在某些的被积函数所表示的曲面或地底面所围的圆顶柱体体积公式中，也可以利用二重积分的几何意义计算。同时，它还具有一定的数值意义。二重积分和定积分一样表示的是一个数值，而并非函数，如果一个连续的函数含有二重积分，计算时将二重积分转化为二次积分，便可以计算出这个二重积分的值。由此可以看出，二重积分在生活中具有广泛的应用，我们既可以用它来计算曲面的面积和平面薄片的重心，也可以利用它求平面薄片对质点的引力等。当然，二重积分也被广泛的应用到无线电中。

本文分为三大部分。第一部分是从一重积分的定义、性质以及利用定积分的特殊计算例题进行简单的阐述。第二部分也是本文的重要组成部分二重积分，二重积分分为定义、性质、解法分解以及计算方法。关于二重积分，为了便于理解，本文列举了大量的例题阐述。第三部分是二重积分中的曲线积分，对第一型与第二型曲线积分的定义进行简单的介绍后，又重点阐述了格林公式以及习题整理。其中包括本人对这三部分的整理以及学习后的心得与看法。一重积分一重积分通常被称作定积分，定积分的本质是求无规则曲面的面积。无规则曲面的面积计算相对困难，定积分也就是将无规则曲面进行分割、求和、取极限的过程。首先将曲面分割成n个长方形（n→∞），然后再将n个长方形的面积进行求和，最后取极得到的数值即为曲面的面积。1.1一重积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]划分成n个子区间[x0,x1],(x由上式知：各区间的长度依次为∆x1=x1−上式叫做积分和。设λ=max{∆x1,∆x2,…,∆xn}（λ表示1.2一重积分的几何意义设曲面图形是由y=0、y=fx分析：由图中所给的积分区域以及阴影部分图像，我们可以列式为：a1.3定积分的性质性质1：在(a,b)上，积分内部两个函数相加减，可以分别求这两个函数在(a,b)上的积分后再求和。（公式如下，下同）a性质2：在(a,b)上，积分内部函数与一个常数k相乘时，可以将k提到积分号外面再计算。a性质3：若函数f(x)在(a,b)上不好计算积分时，可在积分上下限(a,b)中插入一个新的常数c，使原积分转化成两个简单易算的积分。a注：c不一定在a与b之间。性质4：若在区间［a,b］（a＜b）上，被积函数f(x)恒等于1，则积分a性质5：若在区间［a,b］（a＜b）上，f(x)≥0，则a性质6：（定积分的估值定理）：设f(x)在闭区间［a,b］（a＜b）上存在最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M，则m(b−a)≤性质7：（定积分中值定理）：若f(x)在［a,b］上连续，则至少有一点ξ∈［a,b］，使得1.4定积分的计算方法计算时，通常会出现运用定义或性质难以计算的定积分，为了简化计算，下面由列举出一些定积分计算类型。直接法：例题1：0解:=−cosx=1凑微分法：被积函数为1个例题2：0解:=1=1=1被积函数为2个（留下复杂的，凑简单的）例题3：0解:=0=0=(=1−=2分部积分法：设积分中存在两个函数，分别为ux与v(x)，简称u或v形如abudv，此类型题解法通常为：例题4：0解：=x=Π4-=Π4-=Π4-=Π4-形如abuvdx，计算积分时可以使用分部积分法计算，但需要将abuvdx（式1）化为例题5：1解:=1=1=1=12e第二类换元法：（三角代换、倒代换、根代换）因为定积分与重积分在求解之后是一个数值，所以无论式定积分还是接下来的二重积分，遇到以下三类还原法应用时，为了保证计算结果不变，换元的同时要改变积分上下限。公式：abf(x)dxx=φ(t)c(注：当x=a时t=c;x=b时，t=d)三角代换：（根号下有变量平方的类型题）以下三类被积函数，我们可以根据相应的类型选择不同的代换形式解题。类型1：被积函数形如a2−x2时，令x=asin类型2：被积函数形如x2−a2时，令类型3：被积函数形如x2+a2时，令x=a例题6：0aa解:=0=a=a=a=a=Π根代换：（根号下无变量平方的类型题）此类型题中，若被积函数只有一个根式时，可以令t=a,a为根式的根次；相反，若被积函数为两个或两个以上时，假设被积函数分别为a、b……，令t=k，k为例题7：04x+22x+1dx令t=2x−1,则x=解:=13=13=1=1=(16t3=22倒代换：（分子幂次<分母幂次）此类型题中，当分子的幂次小于分母幂次时，为了计算简便，可以采用倒代换，即令x=1例题8：121x3+xdx令解:=1=1=−=−=−二、二重积分二重积分是定积分延伸与拓展，其本质是求平面上曲顶柱体的体积。同定积分类似，二重积分的计算实质是将曲顶柱体分割成n个小长方体(n→∞)，再将n个小长方体的体积进行求和、取极限后得到的数值即为曲顶柱体的体积。2.1二重积分的概念定义:设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成s其中si表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个si上任取一点xi,如果当各小闭区域的直径中的最大值l→0时,这和的极限总存在,且与闭区域D的分法及点(xi,hi)无关，那么此称此极限为函数其中f(x,y)称作被积函数,f(x,y)∆σ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x与y称为积分变量,D表示积分区域,i=1nf(2.1二重积分的性质性质1设c1、c2性质2如果闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域则此二重积分的结果等于两个闭区域上二重积分的的结果之和。例如D分为两个闭区域D1与D2,性质3D1dσ=Ddσ=σ(s为性质4如果在D上,f(x,y)特殊地有|性质5设m、M分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,s为D的面积,性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,s为D的面积,则在D上至少存在一点2.3二重积分的计算方法对于二重积分的计算，相较采用定义法计算而言，计算二次积分显然更简单。要注意计算二次积分的过程中，找好积分次序更有利于整体的计算。2.3.1利用直角坐标系计算二重积分计算步骤为提高计算二重积分的正确率，我们可以将二重积分化为二次积分计算。就一些简单的二重积分的习题来说，利用已学过的直角坐标计算二重积分的步骤可以分为：画出积分区域草图。根据草图，将积分区域分为X型与Y型；若积分区域非X型也非Y型时，根据二重积分的性质，可以将一个积分区域分成有限个子积分区域。用公式化二重积分为二次积分。依次计算二次积分，最后求值。例题9：计算D(x+y)2dσ分析：由图像可知，该题既可以看作X型也可以看作Y型，因此该题用两种积分次序都可以计算出二重积分。在此把它看成Y型区域。解:D====112==−对于同时可以运用X型与Y型计算二重积分时，积分内部函数f(x,y)不同，读者可以根据f(x,y)的特征选用相对简单的算法，从而达到减少正确量增加正确率的效果。例题如下：例题10：计算De−y2dσ法一：采用Y型计算：初学者在学习二重积分时，以本题为例，在已确定是Y型积分后，需要判断x的上下限。为了方便判断，可以采用穿线法，即作平行于X轴的直线从左向右穿过积分区域（为区分方向，以箭头方向穿线）。直线与积分区域最多出现两个交点，先穿的为下限，后穿的为上限。穿线法同时可以应用到X型积分上，改变穿线方向为平行于Y轴，由下到上（如法二）。由图可知D解：01=0=0=0=−=−=−=1法二：采用X型计算（如下）由图可知De−y解:01==0=01e=e=e−1+=e−1+=e−1+1=e=e=1对于以上两种方法求解本题时，应优先采用第一种方法计算。从简易程度上看，法一仅采用了一步凑微分法即解得答案；而第二种方法则运用了两步分部积分法以及两步凑微分法才解出答案。对于初学者来说，两种方法相对之下，第二种方法运算困难、步骤繁琐、计算量大，不利于解题。根据积分的性质，若积分限上下限关于某点对称，积分内部函数为奇函数时，积分结果为0；若积分限上下限关于某点对称，积分内部函数为偶函数时，原积分等于下限为对称点，上限不变积分的2倍。积分限的确定为了简化二重积分的计算，可以化为二次积分计算。在转化的过程中，需要注意的是如何正确的找出积分上下限。以下是确定积分限的方法：几何法：根据积分区域画出区域草图。设存在点x∈[a,b]，过点x作平行于y轴的直线,使其穿过区域D,与区域D的边界有两个交点(x,φ1x)与(x,φ2x),这里的φ1x、φ2x就是将x看作常数而对y积分时的下限和上限；又因交换积分次序计算二重积分，将二重积分化为二次积分时，不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量很大，我们可以考虑交换积分次序，交换次序的一般步骤为：根据给出的积分区域画区域草图，根据区域草图，确定二次积分的积分限。再将二次积分化为另一种类型的积分。例题11:交换积分次序0解：由题中积分可以确定0≤x≤1;利用穿线法如图上（右），确定积分限为0≤y≤1;y≤x≤y,所以有2.3.2二重积分在直角坐标系中的例题例题12：计算D3x2y2dσ,其中D是由X轴,Y轴，解：D:0≤x≤1，0≤y≤1−x2D3x=01x令x=sint0π2sin类似地，D:0≤y≤1，0≤x≤D3x²y²dσ=01[令y=sin²t0Π2例题13：计算Dxydσ,

其中积分区域解：DD2D==0+=D:−1Dxydσ=−12=12−12例题14：求由曲面Z=x²+2y2及解:1、画积分区域草图，标注出此立体体积在xoy面上的投影。消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x2+y2=2,立体镶嵌在其中,立体在2、列出体积计算的表达式V=D[6−23、确定积分上下限，将原积分化为二次积分进行计算。V=6D而

D由x,y的对称性有DxDx2dσ=解:=40=16·=16·1·14·2所求立体的体积为V=12π−6π=6π2.3.4利用极坐标计算二重积分变换公式按照二重积分的定义有D将上述和式极限表示为极坐标形式。以极点O为中心的一族同心圆，r=常数，从极点出发的一族射线（θ=常数）将积分区域D分割成n个子区域。不包含边界点的小闭区域ΔσΔσi=12(ri+Δri)²Δθi=ri+(ri(数学上可以证明:

含有边界点的小闭区域对应的和的极限等于0，所以，这些小区域在计算中可以忽略)在小区域Δσi上取点(ri,θiξi=于是limλ→0i=1即Dfx,y由于Dfx,ydσ也常记作Df(1)式是将直角坐标下的变量变换转化成极坐标下变量的变换公式,其中,rdrdθ就是直角坐标下的dσ。(1)式的记忆方法:Dfx,ydx得到D2.3.5极坐标下的二重积分计算方法与直角坐标相同，可以将极坐标下的二重积分转化成二次积分后再进行计算。（1）极坐标中，积分区域D可以表示如下：α≤θ≤β其中函数φ1θ,则Dfrcosθ,rsinθ例题15：积分区间为x2+y2解：将原题转化为极坐标计算：令x=r====0=3（2）积分区域D可以表示如下：显然,这只是（1）的特殊形式Φ1(θ)=0

Dfrcosθ,rsinθ（3）积分区域D可以表示如下：这类情形又是（2）中的特殊形式（极点O被包含在尽份区域D的内部），积分区域D又可以分成D1和D2D1:0≤θ≤π故D:

则

Dfrcosθ,rsinθrdrdθ由上不难发现，用极坐标形式计算二重积分的关键之处在于：将积分区域D用极坐标变量r,θ表示成如下形式α≤θ≤βφ下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来.例题16：用极坐标的形式表示下列积分区域：D1:x2D2:−R≤x≤R，R≤y≤R+R2D3:|x|+|y|首先根据积分区域画出积分区域简图,再根据图确定极角的最大变化范围得到极坐标区域[α,β]；再过[α,β]内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们转化成极坐标区域的形式,即可得到极径的变化范围[Φ【解1】用极角射线去扫描区域，得到θ的转角为[0.π]，在[0,π]x2+（rr2=2rsin故D1:0≤【解2】θ从π4转到3π4可以扫描完整个的区域，y=R化成极坐标方程y=R+R2（y−R）2x2(rcosθ)r2=2Rrsinθ故D【解3】D:0≤θ≤πππ32.4使用极坐标变换计算二重积分的原则假如积分边界是曲线时，可以用极坐标方程的形式表示（圆弧段或者直线段）；用极坐标形式表示被积函数的表示式较为简单(

含x2+y例题17：计算I=0adx−x由题可知：积分区域为：D：0≤x≤a,−x≤y≤−a+再由积分区域画图为：（下图）将原积分区域转化为极坐标积分区域，如下：D:−解题步骤如下：I=====−=三、曲线积分曲线积分是给定了特定的曲线的方程形式，即在曲线上进行积分的，不像普通的二重积分那样，直接在xyz坐标上进行积分。曲线积分分为第一型曲线积分与第二型曲线积分。下面重点阐述的是第二型曲线积分。3.1曲线积分的定义3.1.1第一型曲线积分定义：设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn把L分成n个小段，设第i个小段的长度为ΔSi，又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点，作乘积f(ξi,ηi)ΔS3.1.2第二型曲线积分定义：设L为xOy平面内从点A到点B的一条光滑曲线弧，函数P(x,y)与Q(x,y)在L上有界，在L上沿L的方向任意插入一点列M1（x1,y1），M2x2,y设∆xi=xi−