北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末考试+数学+含解析

北京市东城区20232024学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题（每题5分，共20分）1.集合与逻辑已知集合A={x|x²5x+6<0}，则集合A中元素的个数为（）。2.函数与导数函数f(x)=2x³3x²+4x+1在区间[1,2]上的最大值为（）。3.数列数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n²+2n，则数列{an}的通项公式为（）。4.三角函数已知sinθ+cosθ=1，则tanθ的值为（）。5.立体几何在直三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=AC=BC=2，AA1=3，则三棱柱的体积为（）。6.概率与统计从1到100的整数中随机抽取一个数，抽到偶数的概率为（）。二、填空题（每题5分，共20分）7.解析几何直线y=kx+3与圆(x2)²+(y+1)²=5相切，则k的值为______。8.不等式解不等式组\(\begin{cases}x2y\geq1\\3x+y<4\end{cases}\)，表示的平面区域为______。9.数列数列{bn}是等差数列，且b1=2，b5=12，则数列{bn}的前10项和为______。10.统计抛掷一枚均匀的骰子，得到点数的频率分布直方图显示，点数4的频率为0.2，则点数5的频率为______。三、解答题（共60分）11.解析几何与导数综合题（10分）已知函数f(x)=x³3ax²+b，其中a>0，b为常数。（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x=1处取得极值，求a和b的值。12.数列与不等式综合题（10分）已知数列{an}满足an=n²+2n，且bn=an+1。（1）求数列{bn}的前n项和；（2）证明：对任意正整数n，都有bn>0。13.立体几何与概率综合题（10分）一个四面体的顶点A、B、C、D分别在正方体的四个顶点上，且正方体的棱长为2。（1）求四面体ABCD的体积；（2）若从四面体ABCD中随机选择一个顶点，求选择顶点A的概率。14.函数与导数综合题（10分）已知函数g(x)=ln(x²+1)2x。（1）求g(x)的单调区间；（2）证明：g(x)在区间[0,+∞)上的最大值小于2。15.数列与统计综合题（10分）已知一组数据：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。（1）计算这组数据的平均数和方差；（2）若从这组数据中随机抽取两个不同的数，求这两个数的平均数大于5的概率。试卷解析选择题解析1.解析：解不等式3x²5x+6<0，求出x的范围，即可得集合A的元素个数。2.解析：求导f'(x)=6x²6ax+4，令f'(x)=0，求出极值点，再结合区间[1,2]判断最大值。3.解析：根据Sn=n²+2n，求出a1，再利用数列的通项公式an=SnSn1求解。4.解析：利用sin²θ+cos²θ=1，将sinθ+cosθ=1转化为tanθ的形式求解。5.解析：计算三棱柱的底面积和高，再利用体积公式求解。6.解析：偶数包括2,4,6,,100，共50个，概率为50/100。填空题解析7.解析：直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求解k。8.解析：画出不等式组对应的平面区域，确定区域的边界。9.解析：利用等差数列的求和公式Sn=n(a1+an)/2求解。10.解析：根据频率分布直方图，点数5的频率为10.2=0.8。解答题解析11.解析：（1）求导数f'(x)，令f'(x)=0，判断单调性；（2）由f'(1)=0，结合导数的符号判断极值点，再求a和b。12.解析：（1）利用数列的求和公式Sn=n(a1+an)/2求解；（2）利用bn>0的性质，结合an的通项公式证明。13.解析：（1）计算四面体的底面积和高，利用体积公式求解；（2）计算四面体四个顶点的概率，求顶点A的概率。14.解析：（1）求导数g'(x)，判断单调性；（2）利用导数和函数的性质证明最大值小于2。15.解析：（1）计算平均数和方差；（2）列出所有可能的组合，计算平均数大于5的组合数，再求概率。试卷特点与结构1.试卷结构选择题：6题，主要考查基础知识，如集合、函数、数列、三角函数等。填空题：4题，考查学生对基础概念的理解和计算能力。解答题：5题，综合考查学生对函数、数列、几何、概率等知识点的掌握和应用能力。2.难度分布选择题和填空题以基础题为主，难度适中。解答题中既有基础题，也有综合题，难度较高，尤其体现在函数与导数、数列与不等式、立体几何与概率等综合题上。3.考查重点函数与导数：函数的单调性、极值、最值等。数列：通项公式、求和公式、数列的性质等。几何：平面几何、立体几何的面积和体积计算。概率与统计：概率计算、频率分布、统计量计算等。一、选择题答案1.B2.D3.C4.A5.B6.D二、填空题答案7.k=±√58.（∞，2）∪（2，+∞）9.6010.0.5三、解答题答案11.（1）x=2,y=3（2）面积=1212.（1）f(x)=3x²4x+1（2）极值点为x=2/3，极大值为f(2/3)13.（1）V=36（2）表面积=5414.（1）g'(x)=2x1（2）证明：g(x)在x>0.5时单调递增，且g(0.5)<215.（1）平均数=3.5，方差=35/12（2）概率=1/61.集合与逻辑知识点：集合的基本概念、集合的运算、逻辑联结词等。示例题：已知集合A={x|x²5x+6<0}，求集合A中元素的个数。2.函数与导数知识点：函数的单调性、极值、最值、导数的应用等。示例题：函数f(x)=2x³3x²+4x1在区间[1,2]上的最大值。3.数列知识点：等差数列、等比数列的通项公式和求和公式。示例题：数列an的前n项和为Sn=n²+2n，求an的通项公式。4.三角函数知识点：三角函数的基本性质、和差公式、倍角公式等。示例题：已知sinθ+cosθ=1，求tanθ的值。5.立体几何知识点：三棱柱、四面体等立体图形的面积、体积计算。示例题：在直三棱柱ABCA1B1C1中，求三棱柱的体积。6.概率与统计知识点：概率的基本概念、频率分布、统计量计算等。示例题：从1到100的整数中随机抽取一个数，抽到偶数的概率。各题型知识点详解及示例1.选择题特点：考查基础知识，注重对基本概念的理解。示例题：集合的运算、函数的基本性质、数列的定义等。2.填空题特点：注重计算能力，要求学生