2025版高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积讲义理含解析

PAGEPAGE16第2讲空间几何体的表面积与体积[考纲解读]1.驾驭与三视图相结合求解球、柱、锥、台的表面积和体积．(重点)2.会用计算公式，会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲属于高考必考内容．预料2024年会一如既往的对本内容进行考查，命题方式为：①依据三视图，求几何体的表面积或体积；②涉及与球有关的几何体的外接与内切问题．题型以客观题为主，且试题难度不会太大，属中档题型.1．圆柱、圆锥、圆台的侧面绽开图及侧面积公式2．柱、锥、台和球的表面积和体积1．概念辨析(1)圆柱的一个底面积为S，侧面绽开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(3)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.()(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(2024·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三视图可得圆锥的母线长为eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.(2)(2024·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.答案7232解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2cm，BD＝4cm，所以该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72cm2.(3)(2024·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是.答案eq\f(3,2)解析设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(4)已知某棱台的上、下底面面积分别为6eq\r(3)和24eq\r(3)，高为2，则其体积为________．答案28eq\r(3)解析由已知得此棱台的体积V＝eq\f(1,3)(6eq\r(3)＋24eq\r(3)＋eq\r(6\r(3)×24\r(3)))×2＝eq\f(1,3)×42eq\r(3)×2＝28eq\r(3).题型eq\a\vs4\al(一)空间几何体的表面积1．(2024·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析依据题意，可得截面是边长为2eq\r(2)的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是eq\r(2)的圆，且高为2eq\r(2)，所以其表面积为S＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故选B.2．(2024·四川南充诊断)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为8eq\r(2)的矩形，则该几何体的表面积是()A．20＋8eq\r(2) B．24＋8eq\r(2)C．8 D．16答案A解析此几何体是一个三棱柱，且其高为eq\f(8\r(2),2\r(2))＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为eq\f(1,2)×2×2＝2.又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋2eq\r(2))×4＝16＋8eq\r(2)，表面积为2×2＋16＋8eq\r(2)＝20＋8eq\r(2).3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5答案C解析依据三视图画出该空间几何体的立体图：S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2；S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)；S△CBD＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)；S△ACD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，所以S表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD＝2＋eq\f(\r(5),2)＋eq\f(\r(5),2)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)＋2.故选C.三类几何体表面积的求法已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.eq\f(7,3) B.eq\f(17,2)C．13 D.eq\f(17＋3\r(10),2)答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝eq\r(2)，A′B′＝2eq\r(2).∴棱台的上底面积为eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，下底面积为eq\f(1,2)×2×2＝2，梯形ACC′A′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(\r(2),2)，∴AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\f(3,\r(2))，∴梯形ABB′A′的面积为eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2)，∴几何体的表面积S＝eq\f(1,2)＋2＋3＋3＋eq\f(9,2)＝13.题型eq\a\vs4\al(二)空间几何体的体积角度1依据几何体的三视图计算体积1．(2024·汕头一模)如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A．15 B．16C.eq\f(50,3) D.eq\f(53,3)答案C解析由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面，高为5的四棱锥P－A1D1FE，其体积V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×4＋\f(1,2)×2×2))×5＝eq\f(50,3).角度2依据几何体的直观图计算体积2.(2024·天津高考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________．答案eq\f(1,12)解析依题意得：该四棱锥M－EFGH为正四棱锥，其高为正方体棱长的一半，即为eq\f(1,2)，正方体EFGH的边长为eq\f(\r(2),2)，其面积为eq\f(1,2)，所以四棱锥M－EFGH的体积VM－EFGH＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).求体积的常用方法干脆法对于规则的几何体，利用相关公式干脆计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟识的几何体补成熟识的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换1．(2024·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面面积S＝eq\f(1＋2×2,2)＝3，高h＝2，所以V＝Sh＝6.2．祖暅是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等．则这两个几何体的体积相等．该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发觉，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图所示，将底面直径皆为2b，高皆为a的半椭球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β随意高度d处可横截得到S圆及S环两截面，可以证明S圆＝S环总成立，据此，短轴长为4cm，长轴长为6cm的椭球体的体积是________cm3.答案16π解析因为总有S圆＝S环，所以半椭球体的体积为V圆柱－V圆锥＝πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a.又2a＝6,2b＝4，即a＝3，b＝2，所以椭球体的体积V＝eq\f(4,3)πb2a＝eq\f(4π,3)×22×3＝16π.题型eq\a\vs4\al(三)几何体与球的切、接问题1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)答案C解析解法一：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)eq\r(32＋42)＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).解法二：将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1的外接球．所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13.故R＝eq\f(13,2).2．(2024·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，∴AB＝6，∵点M为三角形ABC的重心，∴BM＝eq\f(2,3)BE＝2eq\r(3)，∴在Rt△OMB中，有OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱锥D－ABC)max＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故选B.条件探究1若将举例说明2中的三棱锥D－ABC满意的条件改为“AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°”，计算球O的体积．解设A到平面BCD的距离为h，∵三棱锥的体积为eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距离为1.设CD的中点为E，连接OE，则由球的截面性质可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圆的直径CD＝2eq\r(3)，∴球O的半径OD＝2，∴球O的体积为eq\f(32π,3).条件探究2若将举例说明1的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2”，求该球的体积．解如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，则球O的体积V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16).1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：2．三条侧棱相互垂直的三棱锥的外接球(1)依据：长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)方法：补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如举例说明1解法二．1．(2024·天津高考)已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．答案eq\f(9π,2)解析设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝eq\r(3).设球的半径为R，则由题意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).2．某几何体的三视图如图所示，正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，则该几何体外接球的表面积是________．答案eq\f(13π,3)解析如图，易知等腰梯形的外心为下底的中点M，设该几何体的外接球的球心为O，半径为R，OM＝h，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝h2＋1，,R2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－h))2，))整理得R2＝eq\f(13,12)，所以S球表＝eq\f(13π,3).高频考点三视图与空间几何体表面积、体积的综合问题考点分析三视图是高考重点考查的一个学问点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形态，进而求解表面积、体积等学问，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简洁几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图