2024-2025学年高中数学3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课时作业含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-课时作业24复数代数形式的加减运算及其几何意义学问点一复数的加减运算1.复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案A解析∵z1－z2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i.∴z1－z2在复平面内对应的点位于第一象限．2．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于()A．－3iB．3iC．±3iD．4i答案B解析设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z＋3i＝x＋(y＋3)i为纯虚数，得x＝0，且y≠－3，又|z|＝eq\r(x2＋y2)＝|y|＝3，∴y＝3.故选B.学问点二复数加减运算的几何意义3.在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为()A．5B.eq\r(13)C.eq\r(15)D.eq\r(17)答案B解析eq\o(BA,\s\up16(→))对应的复数为－1＋i，eq\o(BC,\s\up16(→))对应的复数为3＋2i，∵eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))，∴eq\o(BD,\s\up16(→))对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD的长为eq\r(13).4．已知复数z1对应的向量的终点在其次象限，复数z2对应的向量的终点在其次象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案B解析依据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点肯定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在其次象限，故选B.5．满意条件|z－2i|＋|z＋1|＝eq\r(5)的点的轨迹是()A．椭圆B．直线C．线段D．圆答案C解析|z－2i|＋|z＋1|＝eq\r(5)表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数eq\r(5)，又点(0,2)与(－1,0)之间的距离为eq\r(5)，所以动点的轨迹为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段，故选C.学问点三复数加减运算几何意义的应用6．如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)向量eq\o(AO,\s\up16(→))对应的复数；(2)向量eq\o(CA,\s\up16(→))对应的复数；(3)向量eq\o(OB,\s\up16(→))对应的复数．解(1)因为eq\o(AO,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))，所以向量eq\o(AO,\s\up16(→))对应的复数为－3－2i.(2)因为eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，所以向量eq\o(CA,\s\up16(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，所以向量eq\o(OB,\s\up16(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.一、选择题1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝()A．－8iB．13＋8iC．8＋13iD．13－12i答案D解析原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i，故选D.2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，则复数z1－z2＝()A．－1＋2i B．－2－2iC．1＋2i D．1－2i答案B解析由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i，故选B.3．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是()A．1－5i B．－2＋9iC．－2－i D．5＋3i答案D解析∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1－2)i＝5＋3i.4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB肯定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案B解析依据复数加(减)法的几何意义，知以eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限答案C解析∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－eq\r(32＋－42)＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.二、填空题6．实数x，y满意z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是________．答案1解析z1－z2＝y＋xi－yi＋x＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋x＝2，,x－y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故xy＝1.7．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝________.答案－2i解析解法一：∵f(z＋i)＝3z－2i＝3z＋3i－5i＝3(z＋i)－5i，则f(x)＝3x－5i，∴f(i)＝3i－5i＝－2i.解法二：令z＝0可得f(i)＝－2i.8．设复数z满意|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是________．答案直线解析设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得eq\r(x－32＋y＋42)＝eq\r(x＋32＋y－42)，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．三、解答题9．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．解设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝eq\r(x－22＋y－22)表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.10．在平行四边形ABCD中，已知eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(DC,\s\up16(→))对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.(1)求eq\o(BC,\s\up16(→))对应的复数；(2)求eq\o(BD,\s\up16(→))对应的复数；(3)求平行四边形ABCD的面积．解(1)由于eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))，所以eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→)).故eq\o(BC,\s\up16(→))对应的复数为z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(DC,\s\up16(→))，所以eq\o(BD,\s\up16(→))对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))＝(－1,2)，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＝(4,3)，所以cos∠DAB＝eq\f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AD,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))||\o(AD,\s\u