新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列第三节随机事件的概率讲义含解析

PAGEPAGE9第三节随机事务的概率突破点一随机事务的频率与概率eq\a\vs4\al([基本学问])1．事务的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否出现，称n次试验中事务A出现的次数nA为事务A出现的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A出现的频率．(2)对于给定的随机事务A，假如随着试验次数的增加，事务A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事务A的概率，简称为A的概率．eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“下周六会下雨”是随机事务．()(2)事务发生的频率与概率是相同的．()(3)随机事务和随机试验是一回事．()(4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、填空题1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为________．答案：0.512．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．答案：0.90.23．给出下列三个说法，其中正确的有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)；③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率．解析：①错，不肯定是10件次品；②错，eq\f(3,7)是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：0[典例](2024·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解](1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，故所求概率估计为1－eq\f(372,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．计算简洁随机事务频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事务出现的频数及总事务的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率．2．求解以统计图表为背景的随机事务的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事务出现的频数．[针对训练]1．从某校高二年级的全部学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.依据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的全部学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5cm之间的概率约为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)解析：选A从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5～170.5cm之间的学生有8人，频率为eq\f(2,5)，故可估计在该校高二年级的全部学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5cm之间的概率约为eq\f(2,5).2．(2024·全国卷Ⅲ)某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以Y的全部可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.突破点二互斥事务与对立事务eq\a\vs4\al([基本学问])1．概率的基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必定事务的概率：P(A)＝1.不行能事务的概率：P(A)＝0.2．互斥事务和对立事务事务定义概率公式互斥事务在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事务A与B称作互斥事务P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)对立事务在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且肯定有一个发生的事务A和eq\x\to(A)称为对立事务P(eq\x\to(A))＝1－P(A)eq\a\vs4\al([基本实力])一、推断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若随机事务A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.()(2)两个事务的和事务是指两个事务同时发生．()(3)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务．()(4)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不行能事务．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、填空题1．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是____________．答案：两次都不中靶2．设事务A，B，已知P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(A∪B)＝eq\f(8,15)，则A，B之间的关系肯定为________事务．答案：互斥eq\a\vs4\al([全析考法])考法一事务关系的推断[例1](1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事务是互斥而不是对立事务的是()A．恰有1个是奇数和全是奇数B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C．至少有1个是奇数和全是奇数D．至少有1个是偶数和全是偶数(2)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中随意取出3件，设E表示事务“3件产品全不是次品”，F表示事务“3件产品全是次品”，G表示事务“3件产品中至少有1件是次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G随意两个事务均互斥D．E与G对立[解析](1)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种状况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A：是互斥事务；B：不互斥；C：不互斥；D：不互斥．故选A.(2)由题意得事务E与事务F不行能同时发生，是互斥事务；事务E与事务G不行能同时发生，是互斥事务；当事务F发生时，事务G肯定发生，所以事务F与事务G不是互斥事务，故A、C错．事务E与事务G中必有一个发生，所以事务E与事务G对立，所以B错误，D正确．[答案](1)A(2)D[方法技巧]推断互斥、对立事务的2种方法定义法推断互斥事务、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务集合法①由各个事务所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事务互斥．②事务A的对立事务eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集考法二互斥事务、对立事务的概率[例2]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9分钟．(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事务，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).[方法技巧]求困难互斥事务概率的2种方法干脆法将所求事务的概率分解为一些彼此互斥的事务的概率的和间接法先求该事务的对立事务的概率，再由P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])假如事务A与B是互斥事务，则()A．A∪B是必定事务B.eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定是互斥事务C.eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))肯定不是互斥事务D.eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务解析：选D事务A与B互斥即A∩B为不行能事务，所以eq\o(A,\s\up6(－))∪eq\o(B,\s\up6(－))＝eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－))是必定事务，故选项D正确；在抛掷骰子试验中，A表示向上的数字为1，B表示向上的数字为2，A∪B不是必定事务，选项A错误；eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))不肯定是互斥事务，选项B错误；A表示向上的数字为奇数，B表示向上的数字为偶数，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))是互斥事务，选项C错误．故选D.2.eq\a\vs4\al([考法二])(2024·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：选B由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.3.eq\a\vs4\al([考法二])某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)