2025版高考数学复习第十二单元第60讲直接证明与间接证明练习理新人教A版

PAGEPAGE1第60讲干脆证明与间接证明1.[2024·菏泽模拟]命题“对于随意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明过程“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”应用了 ()A.分析法 B.综合法C.综合法与分析法结合运用 D.放缩法2.[2024·唐山模拟]已知a,b,c是不全相等的正数,给出下列说法,其中正确的个数为 ()①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;②a>b与a<b及a≠c中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.A.0 B.1 C.2 D.33.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”时,索的因应是A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<04.已知实数a,b,x,y满意a2+b2=1,x2+y2=3,则ax+by的最大值为.

5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件的序号是6.[2024·陕西澄城模拟]用分析法证明:欲使①A>B,只需②C<D,这里②是①的 ()A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=12x,a,b是正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系为 (A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A8.[2024·三明期末]用反证法证明命题①“已知p3+q3=2,求证:p+q≤2”时,可假设“p+q>2”;证明命题②“若x2=4,则x=-2或x=2”时,可假设“x≠-2或x≠2”.以下结论正确的是 ()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确9.[2024·焦作期中]用分析法证明不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)时,最终得到的一个明显成立的命题是 ()A.(ac+bd)2≥0 B.a2+b2≥0C.(ad-bc)2≥0 D.c2+d2≥010.[2024·临沂期末]“若x>0,y>0且x+y>2,求证1+xy<2,1+yx<2中至少有一个成立.”用反证法证明这个命题时,A.假设1+xy>2,1+B.假设1+xy≥2,1+C.假设1+xy和1+D.假设1+xy和1+11.给出下面三个不等式:(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ac;(2)a(1-a)≤14(3)ba+ab其中恒成立的有 ()A.1个 B.2个 C.3个 D.0个12.比较大小:8-5

10-7.13.设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不行能都大于1.

课时作业(六十)1.B[解析]综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件动身,经过逐步的逻辑推理,最终达到待证结论.故本题证明的过程应用了综合法.2.B[解析]①假设等式成立,则需a=b=c,不合题意,故①错误;②假设全部不成立,则可知a=b=c,不合题意,所以②正确;③令a=1,b=2,c=3,可得a≠c,b≠c,a≠b同时成立,所以③错误.故选B.3.C[解析]由题意知要证b2-ac<3a,只需证b2-ac<3a2,即证(a+c)2-ac<3a2,只需证a2+2ac+c2-ac-3a2<0,只需证-2a2+ac+c2<0,即证2a2-ac-c2>0,只需证(a-c)(2a+c)>0,即证(a-c)(a-b)4.3[解析]不妨设a=sinα,b=cosα,x=3sinβ,y=3cosβ,则ax+by=3sinαsinβ+3cosαcosβ=3(sinαsinβ+cosαcosβ)=3cos(α-β)≤3,故ax+by的最大值是3.5.①③④[解析]要使ba+ab≥2成立,只需ba>0且ab>0成立,即a,b都不为0且同号即可,故①③④能使ba+6.A[解析]分析法证明的本质是证明结论成立的充分条件成立,∴②是①的充分条件.故选A.7.A[解析]∵a+b2≥ab≥2aba+b,且f(x)=12x在R上是减函数,∴fa+b2≤f(ab)≤f2aba8.C[解析]命题①,证明“已知p3+q3=2,求证:p+q≤2”时,可假设“p+q>2”,故①的假设正确;命题②,证明“若x2=4,则x=-2或x=2”时,应当假设“x≠-2且x≠2”.故②的假设错误.故选C.9.C[解析]为了证明(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),只要证明a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证明2abcd≤a2d2+b2c2,也就是证明(ad-bc)2≥0,这是明显成立的.10.B[解析]由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以假设原命题的否定不成立进行推证.故应假设1+xy≥2,1+y11.B[解析]a2+b2+c2=a2+b22+a2+c22+b2+c22≥ab+ac+bc(当且仅当a=b=c时等号成立);a(1-a)≤a+1-a22=14当且仅当a=12.>[解析]揣测8-5>10-7.要证8-5>10-7,只需证8+7>10+5,即证(8+7)2>(10+5)2,即证15+256>15+250,即证56>50,即证56>50,明显成立,故8-5>10-7.13.证明:假设4a(1-b)>1,4b(1-c)>1,4c(1-d)>1,4d(1-a)>1,则有a(1-b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)