高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课时作业含解析新人教A版选修1-2

PAGEPAGE4其次章推理与证明课时作业36一、选择题1．命题“对于随意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合运用D．间接证法解析：从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．答案：B2．欲证eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)成立，只需证()A.(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2B.(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C.(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2D.(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：A中，eq\r(2)－eq\r(3)<0，eq\r(6)－eq\r(7)<0平方后不等价；B、D与A状况一样；只有C项，eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)⇔eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(6)＋eq\r(3)⇔(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(6)＋eq\r(3))2.故选C.答案：C3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件解析：∵A>B⇔a>b⇔sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A⇔1－2sin2B>1－2sin2A⇔sin2B<sin2A⇔sinB<sinA.∴A>B⇔cos2B>cos2A.故选C.答案：C4．已知a、b、c、d为正实数，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，则()A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D.以上均可能解析：先取特值检验，∵eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(2,5)，满意eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).∴B、C不正确．要证eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)，∵a、b、c、d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证eq\f(a,b)<eq\f(c,d).而eq\f(a,b)<eq\f(c,d)成立，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d).同理可证eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d).故A正确，D不正确．答案：A二、填空题5．设n∈N，a＝eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)，b＝eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)，则a，b的大小关系是________．解析：要比较eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)与eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)的大小，即推断(eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3))－(eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1))＝(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))的符号，∵(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))2＝2[eq\r(n＋4n＋1)－eq\r(n＋3n＋2)]＝2(eq\r(n2＋5n＋4)－eq\r(n2＋5n＋6))<0，∴eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)<eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1).答案：a<b6．已知p＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．解析：p＝a－2＋eq\f(1,a－2)＋2≥2eq\r(a－2·\f(1,a－2))＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.答案：p>q7．若不等式(－1)na<2＋eq\f(－1n＋1,n)对随意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当n为偶数时，a<2－eq\f(1,n)，而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴a<eq\f(3,2).当n为奇数时，a>－2－eq\f(1,n)，而－2－eq\f(1,n)<－2，∴a≥－2.综上可得－2≤a<eq\f(3,2).答案：[－2，eq\f(3,2))三、解答题8．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：综合法a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2>0⇒a2－2ab＋b2>0⇒a2－ab＋b2>ab.留意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.9．证明：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则eq\f(\r(b2－ac),a)<eq\r(3).证明：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.要证eq\f(\r(b2－ac),a)<eq\r(3)，只需证eq\r(b2－ac)<eq