湖南省邵阳市2023-2024学年高一上学期拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）数学无答案

湖南省邵阳市20232024学年高一上学期拔尖创新人才早期培养竞赛（初赛）数学试题一、选择题（每题5分，共30分）1.若函数$f(x)=x^22ax+1$在区间$[1,2]$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）。A.$a<0$B.$a\geq0$C.$a>1$D.$a\leq1$2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^22n$，则该数列的公差是（）。A.5B.6C.7D.83.在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点坐标是（）。A.$(1,2)$B.$(2,1)$C.$(2,1)$D.$(1,2)$4.已知$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$在第二象限，则$\sin\alpha$的值是（）。A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{5}$5.若复数$z$满足$|z2i|=3$，则$z$在复平面内对应的点位于（）。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知集合$A=\{x|x^23x+2=0\}$，则集合$A$的元素个数是（）。A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）7.已知等比数列$\{b_n\}$的首项$b_1=2$，公比$q=3$，则该数列的前$5$项和$S_5$等于_______。8.已知函数$g(x)=\sqrt{x^24}$，则函数$g(x)$的定义域是_______。9.已知$\tan\theta=\frac{4}{3}$，且$\theta$在第三象限，则$\cos\theta$的值是_______。10.已知点$P$在圆$x^2+y^2=25$上，且$OP$的长度为$5$，则点$P$的坐标可能是_______。三、解答题（每题10分，共50分）11.已知函数$f(x)=\frac{x^21}{x+1}$，求证：$f(x)$在区间$(1,1)$上是增函数。12.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，求该数列的通项公式。13.已知三角形$ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，求$\sinB$的值。14.已知复数$z=1+2i$，求复数$z$的共轭复数$z^$。15.已知函数$h(x)=\log_2(x^23x+4)$，求证：当$x>1$时，$h(x)$是增函数。四、应用题（共20分）16.某工厂生产某种产品，每件产品的成本为$10$元，销售价格为$x$元，且销售量$y$与价格$x$满足线性关系$y=x+100$。求：（1）当销售价格定为多少元时，工厂的利润最大？（2）求最大利润。五、证明题（共20分）17.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，求证：数列$\{a_n^2\}$是等比数列。六、开放题（共20分）18.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求函数$f(x)$的最小值，并说明理由。选择题答案选择题答案如下：1.A2.B3.B4.A5.D6.C填空题答案填空题答案如下：7.38.39.210.411.5解答题答案解答题答案如下：11.证明：由于f(x)=x^22ax+1，其导数为f'(x)=2x2a。要证明f(x)在区间(1,1)上单调递增，只需证明f'(x)>0。将x=1和x=1分别代入f'(x)，得到f'(1)=2a2和f'(1)=22a。由于1<x<1，要使f'(x)>0，需满足2a2>0和22a>0，解得a<1和a<1。综合这两个不等式，得到a<1，因此实数a的取值范围是a<1。12.解：由等差数列前n项和公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入Sn=2n^23n和a1=2，d=3，得到2n^23n=n/2(4+3n3)。化简得4n6=2n^23n，整理后得n^25n+6=0，解得n=2或n=3。由于n为正整数，因此n=3。将n=3代入Sn=2n^23n得到Sn=9。因此，数列的通项公式为an=2+3(n1)=3n1。13.解：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2b^2)/2ac。代入a=5，b=8，c=5，得cosB=(25+2564)/50=1/10。由于B是锐角，sinB=sqrt(1cos^2B)=sqrt(1(1/10)^2)=3sqrt(6)/10。14.解：复数z的共轭复数z是将z中的虚部取相反数，即z=12i的共轭复数为1+2i。15.解：求h(x)=log2(x^23x+4)的最小值，需要确定函数的定义域。由于对数函数的定义域为正数，需解不等式x^23x+4>0。解得x<1或x>2。当x>2时，h(x)=log2(x^23x+4)。对h(x)求导得h'(x)=2x3/(x^23x+4)。要使h(x)单调递增，需h'(x)>0。解不等式2x3>0得x>3/2。结合定义域x>2，得到x>2。因此，当x>2时，h(x)单调递增。由于h(x)在x>2时单调递增，最小值发生在x=2，代入得h(2)=log2(46+4)=log2(2)=1。应用题答案应用题答案如下：16.解：（1）利润函数为P(x)=(x10)(x100)=x^2110x+1000。求导得P'(x)=2x110。令P'(x)=0，解得x=55。因此，当销售价格为55元时，利润最大。（2）将x=55代入P(x)，得最大利润为P(55)=55^211055+1000=1225。证明题答案证明题答案如下：17.证明：等差数列an的通项公式为an=a1+(n1)d。已知a1=2，d=3，则an=2+3(n1)=3n1。数列an^2的通项公式为(an)^2=(3n1)^2。展开得(an)^2=9n^26n+1。由于9n^26n+1是一个二次多项式，其相邻项之比为常数，因此数列an^2是等比数列。开放题答案开放题答案如下：18.解：函数f(x)=1/x^2+1的最小值可通过求导数找到。对f(x)求导得f'(x)=2x^(3)。令f'(x)=0，解得x=0。由于x=0时f(x)无定义，需考虑x≠0的情况。当x≠0时，f(x)的导数f'(x)<0，说明f(x)在x≠0时单调递减。因此，f(x)在x=0附近取得局部最小值。但由于f(x)在x=0时无定义，最小值需在x≠0时寻找。当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)趋向于0。因此，f(x)的最小值为0。一、选择题知识点：1.函数的单调性2.等差数列的前n项和公式3.平面直角坐标系中的对称问题4.三角函数的基本性质5.复数的几何意义6.集合的表示与运算二、填空题知识点：7.函数的奇偶性8.等差数列的通项公式9.函数的周期性10.对数函数的性质11.函数的最值问题三、解答题知识点：12.函数的增减性证明13.等差数列的通项公式14.三角函数的求解15.函数的极值问题四、应用题知识点：16.利润最大化问题17.等比数列的判定18.函数的最小值求解五、开放题知识点：19.函数的性质与极值问题各题型知识点详解及示例1.选择题：主要考察学生对基础数学概念的理解和运用能力。例如，第一题通过函数的导数判断单调性，第二题通过等差数列的前n项和公式求解公差。2.填空题：重点考察学生对数学公式的记忆和运用能力。例如，第七题考察奇偶性，第九题考察周期性。3.解答题：综合考察学生的数学思维能力和证明能力。例如，第1