湖南省长沙市2024届高三上学期第一次调研测试数学含解析

湖南省长沙市2024届高三上学期第一次调研测试数学试卷（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，则函数\(f(x)\)的值域为（）A.\((0,1)\)B.\((0,1]\)C.\([0,1)\)D.\([0,1]\)2.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，则集合\(A\)的元素个数为（）A.0B.1C.2D.33.已知\(\log_23=a\)，则\(\log_32\)的值为（）A.\(\frac{1}{a}\)B.\(\frac{1}{2a}\)C.\(2a\)D.\(\frac{1}{2}a\)4.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，则该数列的公差为（）A.2B.3C.4D.55.已知平面直角坐标系中，点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，则线段\(AB\)的中点坐标为（）A.\((2,3)\)B.\((2,2)\)C.\((3,3)\)D.\((4,4)\)6.已知函数\(f(x)=x^33x\)，则函数\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值为（）A.0B.2C.4D.87.已知复数\(z=1+i\)，则\(|z|^2\)的值为（）A.1B.2C.3D.48.已知正方体\(ABCDA_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，则异面直线\(AB\)与\(CC_1\)所成的角的大小为（）A.\(30^\circ\)B.\(45^\circ\)C.\(60^\circ\)D.\(90^\circ\)9.已知事件\(A\)和\(B\)相互独立，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，则\(P(A\capB)\)的值为（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.410.已知等比数列\(\{b_n\}\)中，\(b_1=2\)，\(b_3=18\)，则该数列的公比为（）A.2B.3C.6D.911.已知函数\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)，则函数\(f(x)\)的导数为（）A.\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)B.\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)C.\(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\)D.\(\frac{1}{x^2+1}\)12.已知直线\(l:y=mx+b\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，则\(m^2+b^2\)的值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.已知\(\sin\theta=\frac{1}{2}\)，且\(\theta\)在第二象限，则\(\cos\theta\)的值为_________。14.已知函数\(f(x)=\lnx\)，则函数\(f(x)\)在区间\([1,e]\)上的最小值为_________。15.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=9\)，则该数列的前5项和为_________。16.已知直线\(l:y=kx+1\)与圆\(x^2+y^2=4\)相交于两点，则\(k\)的取值范围为_________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.（本小题满分10分）已知函数\(f(x)=x^22x+1\)，求函数\(f(x)\)的单调区间。18.（本小题满分12分）已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(a_3=9\)，求该数列的前n项和\(S_n\)。19.（本小题满分12分）已知平面直角坐标系中，点\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，\(C(5,6)\)，求三角形\(ABC\)的面积。20.（本小题满分12分）已知复数\(z=1+i\)，求\(z^2\)的值。21.（本小题满分12分）已知函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求函数\(f(x)\)的反函数。22.（本小题满分12分）已知直线\(l:y=mx+b\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切，求\(m\)和\(b\)的关系式。四、附加题（本大题共2小题，共20分。）23.（本小题满分10分）已知函数\(f(x)=\lnx\)，求函数\(f(x)\)在区间\([1,e]\)上的最大值。24.（本小题满分10分）已知等比数列\(\{b_n\}\)中，\(b_1=2\)，\(b_3=18\)，求该数列的前n项和\(T_n\)。一、选择题答案1.B2.D3.A4.B5.A6.D7.C8.A9.B10.D11.C12.A二、填空题答案13.314.515.216.417.118.319.220.4三、解答题答案17.解答：函数$f(x)=x^22x+1$的单调递增区间为$x\in(\infty,1]$，单调递减区间为$x\in[1,+\infty)$。18.解答：等差数列$a_n$的前n项和$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n1)d)$，其中$a_1=3$，$d=3$，代入得$S_n=\frac{n}{2}(6+3(n1))$。19.解答：三角形$ABC$的面积$S=\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$，底为$BC$，高为$A$点到$BC$的垂直距离，可计算得出。20.解答：$z^2=(1+i)^2=1+2i1=2i$。21.解答：函数$f(x)=\frac{1}{x}$的反函数为$f^{1}(x)=\frac{1}{x}$。22.解答：直线$l:y=mx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$b^2=1m^2$。四、附加题答案23.解答：函数$f(x)=\lnx$在区间$[1,e]$上的最大值为$f(e)=1$。24.解答：等比数列$b_n$的前n项和$T_n=b_1\frac{1r^n}{1r}$，其中$b_1=2$，$r=3$，代入得$T_n=2\frac{13^n}{13}$。1.函数函数的单调性、奇偶性、周期性指数函数、对数函数、幂函数的性质函数的极值与最值2.数列等差数列和等比数列的通项公式数列的前n项和公式数列的单调性3.平面向量向量的加减运算向量的数量积与向量积向量在几何中的应用4.解析几何直线与圆的位置关系椭圆、双曲线、抛物线的性质空间几何中的距离与角度计算5.概率与统计古典概率与条件概率统计数据的描述与推断随机变量的分布与期望6.三角函数三角函数的基本公式三角函数的图像与性质解三角形的方法7.不等式基本不等式的应用一元二次不等式的解法含参不等式的求解各题型知识点详解及示例选择题考察基础知识，如集合、复数、数列、函数性质等。示例：已知$f