重庆市西南大学附属中学等拔尖强基联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学含解析

重庆市西南大学附属中学等拔尖强基联盟20222023学年高二下学期期中联考数学试卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共10题，计50分）1.若函数\(f(x)=\sqrt{x^21}\)，则\(f^{1}(x)\)的定义域是（）。2.已知\(\log_2(3x1)>1\)，则\(x\)的取值范围是（）。3.在等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_3=7\)且\(a_7=17\)，则该数列的公差是（）。4.已知圆\(C\)的方程为\(x^2+y^2=25\)，则圆心到直线\(3x+4y10=0\)的距离是（）。5.函数\(y=\frac{1}{x^2+1}\)在区间\([0,1]\)上的最大值是（）。6.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，则\(\cos2\alpha\)的值是（）。7.若\(a>b>0\)，则\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)与\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的大小关系是（）。8.已知\(\triangleABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，则\(\triangleABC\)是（）。9.若\(x^32x^2+x2=0\)的一个根是2，则该方程的另一个根是（）。10.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,1)\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)的值是（）。二、填空题（每题4分，共5题，计20分）11.已知\(f(x)=x^2+2x+1\)，则\(f(3)\)的值是________。12.若\(\tan\theta=1\)，则\(\theta\)在第二象限的度数是________。13.在等比数列\(\{b_n\}\)中，若\(b_1=2\)，\(b_3=8\)，则该数列的公比是________。14.已知\(\log_3(2x1)=2\)，则\(x\)的值是________。15.已知\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(\cos\alpha\)的值是________。三、解答题（每题10分，共3题，计30分）16.解不等式\(\frac{2x1}{x+2}\leq1\)。17.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上的最大值。18.已知\(\triangleABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，求\(\triangleABC\)的面积。四、证明题（每题10分，共2题，计20分）19.已知\(a>b>0\)，证明\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)。20.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,1)\)，证明\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。五、综合题（每题10分，共2题，计20分）21.已知\(f(x)=x^33x^2+2x\)，求\(f(x)\)的极值。22.已知\(\triangleABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，求\(\triangleABC\)的内切圆半径。【解析部分】1.选择题答案：1.A2.B3.C4.D5.A6.B7.C8.D9.B10.C2.填空题答案：11.1612.135°13.214.215.±\(\frac{1}{2}\)3.解答题答案：16.\(x\leq3\)或\(x\geq1\)17.最大值为\(\frac{1}{2}\)18.面积为\(\frac{1}{2}ab\)4.证明题答案：19.证明略20.证明略5.综合题答案：21.极值点为\(x=1\)和\(x=2\)，极大值为\(f(1)=0\)，极小值为\(f(2)=2\)22.内切圆半径为\(\frac{1}{2}\)8.解答题（每题10分，共2题，计20分）9.已知函数\(f(x)=\sqrt{x^21}\)，求其定义域和值域。10.已知数列\(\{a_n\}\)为等差数列，且\(a_1=2,a_5=12\)，求该数列的前10项和。9.证明题（每题10分，共2题，计20分）11.已知\(\triangleABC\)的三边长分别为\(a,b,c\)，且\(a^2+b^2=c^2\)，证明该三角形是直角三角形。12.已知\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(4,1)\)，证明\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。10.综合题（每题15分，共2题，计30分）13.已知函数\(f(x)=\frac{1}{x^2+1}\)，求其在区间\([0,1]\)上的最大值和最小值。14.已知圆\(C\)的方程为\(x^2+y^2=25\)，求圆心到直线\(3x4y10=0\)的距离。11.应用题（每题10分，共2题，计20分）15.已知某工厂的月产量\(Q\)与投入成本\(C\)之间的关系为\(Q=100CC^2\)，求使工厂利润最大的成本投入。16.已知数列\(\{a_n\}\)为等比数列，且\(a_1=2,a_3=18\)，求该数列的前5项和。【解析部分】8.解答题答案：9.定义域为\(x\in(\infty,1]\cup[1,+\infty)\)，值域为\(y\in[0,+\infty)\)。10.等差数列的公差为\(d=\frac{122}{51}=2\)，前10项和为\(S_{10}=\frac{10}{2}\times(2+12)=70\)。9.证明题答案：11.证明略。12.证明略。10.综合题答案：13.最大值为\(f(0)=1\)，最小值为\(f(1)=\frac{1}{2}\)。14.圆心到直线的距离为\(\frac{|3\times04\times010|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2\)。11.应用题答案：15.利润函数为\(P(C)=100CC^2C\)，最大利润对应\(C=50\)万元。16.等比数列的公比为\(q=\frac{18}{2}=9\)，前5项和为\(S_5=\frac{2(19^5)}{19}=16128\)。一、解答题（共2题，每题10分，总分20分）1.已知函数$f(x)=\sqrt{x^21}$，求其定义域和值域。答案：定义域为$x\in(\infty,1]\cup[1,\infty)$，值域为$y\in[0,\infty)$。知识点：函数的定义域和值域的求解，涉及平方根函数的性质。2.已知数列$\{a_n\}$为等差数列，且$a_1=2,a_5=12$，求该数列的前10项和。答案：等差数列的公差为$d=\frac{122}{51}=2$，前10项和为$S_{10}=\frac{10}{2}\times(2+12)=70$。知识点：等差数列的通项公式和求和公式。二、证明题（共2题，每题10分，总分20分）3.已知$\triangleABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a^2+b^2=c^2$，证明该三角形是直角三角形。答案：证明略。知识点：勾股定理的证明，涉及直角三角形的性质。4.已知$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,1)$，证明$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$。答案：证明略。知识点：向量的点积，涉及向量的性质和运算。三、综合题（共2题，每题15分，总分30分）5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2}+1$，求其在区间$[0,1]$上的最大值和最小值。答案：最大值为$f(0)=1$，最小值为$f(1)=\frac{1}{2}$。知识点：函数的极值和最值，涉及导数的应用。6.已知圆$C$的方程为$x^2+y^2=25$，求圆心到直线$3x4y10=0$的距离。答案：圆心到直线的距离为$\frac{|3\times04\times010|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{10}{5}=2$。知识点：圆的方程和直线到点的距离公式。四、应用题（共2题，每题10分，总分20分）7.已知某工厂的月产量$Q$与投入成本$C$之间的关系为$Q=100CC^2$，求使工厂利润最大的成本投入。答案：利润函数为$P(C)=100CC^2C$，最大利润对应$C=50$万元。知识点：函数的极值和最值，涉及导数的应用。8.已知数列$\{a_n\}$为等比数列，且$a_1=2,a_3=18$，求该数列的前5项和。答案：等比数列的公比为$q=\frac{18}{2}=9$，前5项和为$S_5=\frac{2(19^5)}{19}=16128$。知识点：等比数列的通项公式和求和公式。1.函数部分：包括函数的定义域、值域、极值和最值的求解，涉及平方根函数、等差数列和等比数列的性质。2.几何部分：包括勾股定理的证明、向量的点积以及圆的方程和直线到点的距离公式。3.综合应用部分：包括函数的极值和最值、导数的应用以及