专题04 一次函数（考题猜想）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

第第页专题04一次函数（考题猜想，易错常考重难点8大题型79题）题型一：一次函数图象平移问题（常考）1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）将直线平移得到直线，则移动方法为（

）A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位C．向上平移4个单位 D．向下平移4个单位【答案】D【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键在于规律“左加右减，上加下减”的认识．根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．【详解】解：将直线平移得到直线，则移动方法为向下平移4个单位故选：D．2．（多结论）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）对于函数，，为常数与函数，，为常数）．若，，则称函数与互为“对称函数”，下列结论：①若函数与互为“对称函数”，则与的图象关于轴对称；②若点，，分别在“对称函数”与的图象上，当时，则；③若函数与函数互为“对称函数”，则的值为1；④若函数与互为“对称函数”，将函数向右平移个单位得到函数，当，则．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】将已知条件代入选项中进行分析判断．【详解】解：①函数与互为“对称函数”，，，，互为相反数，与的图象关于轴对称，符合题意；②与是“对称函数”，，与互为相反数，符合题意；③函数与函数互为“对称函数”，，，即，求得：，，不符合题意；④函数向右平移个单位得到函数，，即解得：或，不符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数的性质及其变换运用，要熟练掌握一次函数的基本性质及其平移规律．3．（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）直线平行于直线，且与轴交于点，此函数的关系式为．【答案】【分析】本题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据与y轴交于点求出b，即可得解．【详解】解：∵直线平行于直线，∴，∴，又直线与轴交于点，∴，∴，故答案为：．4．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）将直线向右平移3个单位长度后，所得直线经过点，则m的值为．【答案】【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数的平移规律：上加下减，左加右减．先求出平移后的直线解析式，再将点代入计算即可．【详解】解：将直线向右平移3个单位长度后，所得直线解析式为，所得直线经过点，，解得：，故答案为：．5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可．【详解】解：如图，当时，，则，当时，，解得：，则，∵将沿轴向左平移2个单位得到，∴直线向左平移2个单位得到直线，且，则直线的解析式为，时，，则，∴．故答案为：6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为．【答案】【分析】由直线与坐标轴交点求法可求，，由平移的性质得直线：，从可得点是点关于直线对称，联立直线：与直线：，可求出，作点关于轴的对称点为，由点关于坐标轴对称规律得，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，由待定系数法求得直线为，即可求解．【详解】解：直线：，当时，，，同理可求：，将直线向上平移6个单位得到直线，直线：，，，，，点是点关于直线对称，联立直线：与直线：得：，解得：，，如图，作点关于轴的对称点为，，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，设直线为，则有，解得：，直线为，当时，，解得：，．【点睛】本题考查了待定系数法，点关于坐标轴的对称规律，两点之间线段最短等，掌握“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键．7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，那么的面积为【答案】【分析】本题考查了一次函数图像的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于点，根据图形可得到，，由直线与轴的夹角为，得到，利用勾股定理即可求出，进而得到，再得到，根据三角形面积公式计算即可求解，从函数图像上获取信息，并掌握直线与轴的夹角为是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于点，则由图可得，当直线经过点时，，，当直线向右平移经过点时，与相交于点，此时，由图可得，，，∴，，∵直线与轴的夹角为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面积，故答案为：．8．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A．(1)求的函数表达式；(2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值．【答案】(1)(2)2【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键．（1）代入点到，利用待定系数法即可求解；（2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．【详解】（1）解：代入点，得，解得：，的函数表达式为．（2）解：令，则，解得：，，点A关于y轴的对称点为，将向下平移个单位长度得到直线，设的函数表达式为，代入得，，解得：，n的值为2．9．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）根据以下素材，探究函数的图象性质．【素材内容】素材1：七年级（上）绝对值一课中，给出了绝对值的相关知识：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即绝对值的意义；素材2：八年级（上）数学教材第四章中，我们经历了“确定函数的表达式一利用函数图象研究其性质一应用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点的方法画出一个函数的图象．【问题解决】任务1：对于函数，当时化简函数的表达式：当时，；当时，；任务2：在平面直角坐标系中，画出函数的图象；任务3：函数的图象可由的图象向平移个单位得到；函数的图象可由的图象向平移个单位得到；任务4：结合以上任务，你发现函数有哪些性质？（写出一条即可）【答案】任务1：，任务2：见解析，任务3：右；2；右；任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）【分析】任务1：化简绝对值即可；任务2：列表描点，连线画出函数图象，根据图象判断增减性即可．任务3：根据图象即可得出答案；任务4：根据函数增减性解答即可．【详解】解：任务1：对于函数，当时得函数的表达式，当时，；当时，；故答案为：，；任务2：列表如下：0123421012作图如下：任务3：如图，由图可得：函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；函数的图象可由的图象向右平移个单位得到；任务4：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小（答案不唯一）．【点睛】本题考查一次函数图象性质，绝对值函数，画函数图象，一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键．注意数形结合思想的应用．10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与轴、轴交于点、，点在轴负半轴上，且．(1)求直线的函数表达式；(2)直线与直线、分别交于点、，若，求的值；(3)将中直线向上平移后经过点，与轴交于点，为线段上一点（含端点），连接，一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段运动到，再以每秒个单位的速度沿线段运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？【答案】(1)直线的函数表达式为(2)(3)当点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最少【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，再利用三角形面积之间的关系求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；设的坐标为，根据正比例函数图象关于原点中心对称，可得点的坐标为，根据点在直线上，可得方程，解方程求出的值，从而得到点的坐标为，利用待定系数法求出的值；作轴，，于，当点是与的交点时，点在整个运动过程中用时最少，根据点运动的速度和路程可以求出点的位置和坐标．【详解】（1）解：当时，，点的坐标为，当时，可得，解得：，点的坐标为，，，，，，，解得：，点在轴负半轴上，点的坐标为，设直线的解析式为，把点、代入可得：，解得：，直线的解析式为；（2）解：，，设的坐标为，则点的坐标为，点在直线上，，解得，，点的坐标为，把点坐标代入，得，；（3）解：如下图所示，作轴，，于，由可知，直线的表达式为，，，，，，设点在整个运动过程中用时为秒，由题意得：，当点是与的交点时，点在整个运动过程中用时最少，此时点的横坐标为，设把直线向上平移后经过点后的解析式为，可得：，直线的表达式为，当时，，∴当点的坐标是时，点在整个运动过程中用时最少．【点睛】本题考查一次函数图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式、垂线段最短，解决本题的关键是用垂线段最短找到点．题型二：一次函数的规律探究问题（难点）11．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键．【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同，∵，∴对于，当时，，∴点，对于，当时，，∴点，同理可得：，，，，，，观察这些点的坐标可得出：的横坐标为，∵，∴点的横坐标为，故选：．12．（23-24八年级上·河南周口·期末）正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题．【详解】解：由题知，四边形为正方形，轴，即、的纵坐标相同，当时，，即，，则，当时，，的坐标为，同理可得的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，点的纵坐标是，故选：B．13．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是；第个正方形的边长是．【答案】【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案．【详解】解：由题意，，，，则第一个正方形的边长为，即，，，，则第二个正方形的边长为，即，，，，则第三个正方形的边长为，即，，，以此类推，可得，，第2020个正方形的边长为．故答案为：；．14．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是．

【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，分别计算、…的纵坐标得到规律，用规律解决问题即可．【详解】解：作轴，轴，轴，垂足分别为

的纵坐标是；设则，将坐标代入得：，解得：，的纵坐标是；设，将坐标代入得：，解得：，的纵坐标是；，的纵坐标为．故答案为：．15．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，，，…在x轴的正半轴上，若，，，…依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形顶点的横坐标为．【答案】【分析】本题主要考查了坐标规律探索，解题的关键是根据给出的已知点的特点，得出坐标规律．先求出，得出，从而得出得出的坐标为．【详解】解：把代入得：，解得：，把代入，解得：，，，，故答案为：．16．（23-24八年级下·山东聊城·期末）正方形、、、⋯，按如图所示的方式放置．点、、、⋯，和点、、，⋯，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、坐标的变化规律等知识点，根据点的坐标总结规律是解答本题的关键．首先利用待定系数法求得直线的解析式，求得的坐标，然后根据的坐标归纳总结规律得出的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，点的坐标为，∴正方形边长为1，正方形边长为2，∴的坐标是的坐标是，代入得，解得，则直线的解析式是：，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴点的坐标为，∵的横坐标是：的纵坐标是：，的横坐标是：的纵坐标是：，的横坐标是：的纵坐标是：，∴，∴．故答案为：．17．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，正方形，正方形点在直线，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，…则的值为．【答案】【分析】设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，证明，得到，进而求出，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：设直线与x轴交于H，交于点，交于点，交于点，当时，，当时，，∴，∴，∴直线与x轴的夹角为45°，∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，∵，即第一个正方形的边长为2，∴，∴，即第二个正方形的边长4，同理可得，即第三个正方形的边长为8，…，∴可知第n个正方形的边长为，，，同理得：，，，，∴，，，…，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标规律探究，找到平移规律，继而求出坐标即可．【详解】解：过作轴于，∵，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，∴，，后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上沿射线平移2个单位长度，∴，，∴，∴后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到的图形；∴点是在基础上平移2024次，每次向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度，∴点的坐标是，∴．故答案为：．19．（23-24八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点、、…在直线l上，点、、…在y轴正半轴上，则的长度是．【答案】【分析】本题记直线l与轴交于点，设，利用30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理，求出，设直线l的解析式为，将点代入解析式，求出解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，得出，同理可得出、、、、、的坐标和、、，根据点的坐标变化可找出变化规律，找出规律即可解题．【详解】解：记直线l与轴交于点，设，直线l与x轴正方向夹角为，，，即，直线l与x轴交于点，，，即，解得（舍去），，，设直线l的解析式为，将点代入解析式，有，解得，直线l的解析式为，点，且四边形为正方形，，即，当时，有，解得，，又四边形为正方形，则，，当时，有，解得，，又四边形为正方形，则，，当时，有，解得，，又四边形为正方形，则，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了30度所对直角边等于斜边的一半、勾股定理、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键在于根据坐标变化找出规律．20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为．（1）直线的表达式为；（2）的纵坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律．（1）根据待定系数法求出；（2）设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解．【详解】解：（1）∵直线经过点且截距为，∴，，解得：，，∴；故答案为：．（2）设，，，，，则有，，，过点作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示：∵，，，都是等腰直角三角形，∴，，∴，即，同理可得：，，将点坐标依次代入直线解析式得到：，，，，又，，，，，即的纵坐标是．故答案为：．题型三：求直线围成的图形面积（易错）21．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键．设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得．【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，∵中，时，；中，时，．∴，，∴，∵，∴，在中，当时，，∴，代入，得，，解得，．故选：D．22．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象．(1)求的面积；(2)根据图象直接写出时x的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点情况、一次函数与二元一次方程组和已知一次函数的交点求不等式的解集．能求出两直线交点是解此题的关键．（1）先利用一次函数解析式确定点、、的坐标，然后根据三角形面积公式求解．（2）根据一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．【详解】（1）解：直线是一次函数的图象，当时，，解得，，直线是一次函数的图象，，联立与有，解得，当时，，，的面积为；（2）解：，时x的取值范围为．23．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点．(1)求一次函数的表达式；(2)若点为此一次函数图象上一点，且的面积为12，求点的坐标．【答案】(1)一次函数表达式为(2)点的坐标是或【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、直线与坐标围成的三角形面积等，灵活运用一次函数图象与性质，数形结合求解是解决问题的关键．（1）根据题意，利用待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案；（2）根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边；设，由的面积为12，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过与点，设一次函数的表达式为，将与点代入表达式得到，解得，一次函数表达式为；（2）解：根据题意，分两种情况：①点在轴左边；②点在轴右边；点在轴左边，如图所示：的面积为12，设，其中，，解得，则；点在轴右边，如图所示：的面积为12，设，其中，，解得，则，综上所述，点的坐标是或．24．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过两点．(1)求b的值；(2)若是y轴上的点，连接，求的面积；(3)若，且直线与线段有一个交点，求m的取值范围．【答案】(1)(2)3(3)【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算，两直线交点问题的综合运用，（1）将代入可得，解析式为，再把点代入即可求解；（2）根据坐标与图形，可得，根据几何图形面积的计算即可求解；（3）由（1）可得，分别把点代入即可求解．【详解】（1）解：将代入中，得，解得，正比例函数的解析式为，把代入中，得．（2）解：，，．（3）解：由(1)可得，所以直线的解析式为，将代入，解得；将代入，解得；．25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A．(1)求直线的解析式；(2)求四边形的面积；(3)直接写出不等式的解集．【答案】(1)；(2)四边形的面积为10；(3)．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．（1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论；（2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论；（3）利用图象直接得出结论．【详解】（1）解：∵直线过点，∴，∴，把代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为：；（2）解：把代入，得：，解得，∴，把代入得：，∴，∴，把代入得：，∴，∴，∴，过P点作轴于H，如下图所示：∴四边形的面积为；（3）解：∵，∴由图象知：不等式的解集为．26．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．

备用图(1)求线段的中点坐标；(2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标；（2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可；（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标．【详解】（1）解：当时，，∴，令，解得：，，令，解得：，，线段的中点坐标为；（2）设，当点在直线上方时，，，，，，，，，，解得，点的坐标为；当点在直线下方时，，，，，，，，，，解得，点的坐标为；综上，点的坐标为或；（3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，又点的坐标为，，∴，，，，是等腰直角三角形，，，又，，，，，解得，，设直线的解析式是，将点，代入得：，解得：，直线解析式为，令，得，解得，点的坐标为，．【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用．27．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．直线与直线交于点，与轴交于点．(1)求的值及点的坐标．(2)求的面积．(3)连接，在轴上有一点，使得的面积等于面积的．直接写出此时点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根据直线与x轴的交点可求得b的值，进而得到解析式，即可求得点的坐标；（2）根据两个直线的解析式联立求得交点坐标D，以及点C的坐标，的面积以为底，以点D的横坐标的绝对值为高，即可求得面积；（3）先求出的面积，根据两个三角形面积之间的关系求得面积，然后设出的长，根据面积分割法列得等式，求解即可，注意分情况讨论．【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，∴，解得：，∴直线，令，解得，∴；（2）解：∵直线与直线交于点，∴，解得，∴，∵直线与轴交于点，∴令，解得，∴，即，∴；（3）解：由（1）（2）可得，，，∴，∵的面积等于面积的，∴，设，则，即，解得：，∵，点在轴上，当点E在点A左侧时，点E的横坐标为：，此时点，当点E在点A右侧时，点E的横坐标为：，此时点，∴点E的坐标为或．【点睛】本题考查了直线围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，分割法求三角形的面积，运用数形结合是解答本题的关键．28．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且．(1)的坐标为_________，线段的长为_________．(2)求直线的解析式和点的坐标．(3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结．①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明；②连结，当面积最大时，求的长度和的面积．【答案】(1)，(2)，(3)①相等，不变，见解析，②，【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解，（2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解，（3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大，由，得：当时，取最小值，即可求解，本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换．【详解】（1）解：当时，直线，当时，直线，解得：，，，故答案为：，，（2）解：过点作交于点，交轴于点，且，，，，设过点，，直线的解析式为：，则：解得：，直线的解析式为：，、交于点，解得：，，故答案为：，，（3）解：①，，，，，，，，，，即线段与线段数量关系，保持不变，②，，，，，，即：，，，，，，，，，，，∴为定值，，∴要使最大，求最小即可，，∴当取最小值时，最小，，，，，当时，取最小值，，即：，解得：，面积最小为，，故答案为：①相等，不变，见解析；②，．29．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，的面积为．

(1)求直线的表达式；(2)如图2，过点作直线分别交直线，于点E，点F，设点E在第三象限．①连接，设的面积为，的面积为，若，求点E的坐标；②当的面积最小时，求点E的坐标．【答案】(1)(2)①，②【分析】（1）把点代入求得点的坐标，利用三角形面积求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式；（2）①由题意可知，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，则，即可证得，得出，设，即可得到，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标；②先证得当点是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，则，得到，，设，，代入的解析式求得的值，从而求得点的坐标．【详解】（1）解：由点A在直线上，代入，则，∴，过点A作AG⊥x轴于点G，则，

∵的面积为∴，∴，设：，代入A，B的坐标，得∴∴直线的表达式为；（2）①∵，∴，设点H为的中点，过点H作轴于点I，过点F作所在直线于点J，过点E作轴于点K，

∴，则，∴，设，则，，∴，∴，∴，∵点F在直线上，∴，∴，∴；②如图，过点D两条直线和，其中D是的中点．过点F作交于点M，则，

，∴当点D是中点时，的面积最小，过点F作轴于点P，过点E作轴于点Q，

则，设，则，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形全等的判断和性质，正确表示、点的坐标是解题的关键．30．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点．(1)求a，b的值及点A，C的坐标；(2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标；(3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标．【答案】(1)，，，(2)或(3)或【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等；（1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标；（2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可；（3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标．【详解】（1）把代入可得，解得，∴，令，解得，∴，把代入可得，解得，∴，令，解得，∴；（2）过作交于，设，则，∴，∴，∵，，∴，∵是的面积的2倍，∴，∴，解得或，∴或；（3）根据题意设，，当在第一象限时，如图，过作于，于，则∴，，，，当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，∴∴，∴，，∴，解得∴，，∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；当在第四象限时，如图，过作于，于，则∴，，，，当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，∴∴，∴，，∴，解得∴，，∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；当在第二象限时，如图，过作于，于，则∴，，，，当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，∴∴，∴，，∴，解得不合题意；综上所述，或．题型四：分配方案问题(一次函数的实际应用)（难点）31．（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题：(1)求A场馆和B场馆的门票价格；(2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观；①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值；②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案．【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元(2)①此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；②购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票【分析】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论．（2）①购设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题．②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，可得．根据m、n为正整数，且让去A场馆的人数尽量的多，即可得出结论．【详解】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意得：，解得．答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．（2）解：①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，依题意得：，解得：．设此次购买门票所需总金额为w元，则，∵，∴w随a的增大而减小．∵，且a为整数，∴当时，w取得最小值，最小值．答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，依题意得：，∴．又∵m，n均为正整数，∴或或，当时，，符合题意．当时，，符合题意．当时，，符合题意，舍去；∵让去A场馆的人数尽量的多，∴购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票．【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方程和不等式．32．（23-24八年级下·广东江门·期末）坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批每副售价60元的羽毛球拍和每筒售价10元的羽毛球．购买时，发现商场正在进行两种优惠促销活动．活动甲：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球；活动乙：按购买金额打9折付款．学校欲购买这种羽毛球拍10副，羽毛球筒．(1)写出每种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式．(2)比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱？(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒设计一种最省钱的购买方案．【答案】(1)，；(2)当时，按活动甲付款更省钱；当时，两种活动付款一样；当时，按活动乙付款更省钱；(3)同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买．【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握分类讨论的思想和函数的数学思想解决问题是解题的关键．（1）根据题意，即可列出（元），（元）与x（筒）之间的函数关系式即可；（2）根据（1）得出的函数关系式，分三种情况讨论进行解答即可；（3）根据题意计算三种方案的花费，再比较大小即可解答．【详解】（1）解：由题意可知，，，即，；（2）解：分三种情况讨论：当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：；∵，∴当时，按活动甲付款更省钱；当时，两种活动付款一样；当时，按活动乙付款更省钱；（3）解：由题意可知，购买这种羽毛球拍10副和羽毛球60筒，即，∴甲活动方案：（元）；乙活动方案：（元）；两种活动方案买：（元），∴同时用两种优惠办法购买最省钱，即按甲活动方案购买10副羽毛球拍，其余按乙活动方案购买．33．（23-24八年级下·江西宜春·期末）某学校是乒乓球体育传统项目学校．为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须购买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元．(1)求两种球拍每副各多少元？(2)若学校购买球拍共30副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求该方案所需费用．【答案】(1)直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元(2)购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副，最少费用为6400元【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用等，弄清题意，正确找到相关数量关系是解题的关键；（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副x元，根据“购买15副直拍球拍和10副横拍球拍共花费5400元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费800元”列方程组求解即可；（2）设购买直拍球拍m副，则横拍球拍副，根据“直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的2倍”，求出m的取值范围，设总费用为w元，则，然后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副x元，根据题意，得，解得，答：直拍球拍每副200元，横拍球拍每副240元；（2）解：设购买直拍球拍m副，则横拍球拍副，根据题意，得，∴，设总费用为w元，则，∵，∴w随x的增大而减小，∴当时，w有最小值，最小值为，此时方案为：购买直拍球拍20副，则横拍球拍10副．34．（23-24八年级下·云南昆明·期末）鲜花和火腿是云南非常著名的特产．斗南花卉市场日交易鲜花达500至600万枝，成为全国最大的鲜花交易中心．宣威火腿驰名中外，早在1915年的国际巴拿马博览会上荣获金质奖，成为云南省最早进入国际市场的特色食品．某位游客来昆明旅游，购买了鲜花饼、火腿月饼，火腿月饼的单价比鲜花饼的单价多3元，用63元购买火腿月饼的数量和用42元购买鲜花饼的数量相同．(1)求鲜花饼和火腿月饼的单价各是多少元？(2)根据实际情况，这位游客需一次性购买鲜花饼和火腿月饼共80个，且要求火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，应怎样购买，费用最少为多少元？【答案】(1)鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；(2)这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．（1）设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，根据题意列出分式方程求解即可；（2）设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，根据题意列出函数关系式，再由题意确定不等式得出，根据一次函数的基本性质求解即可．【详解】（1）解：设鲜花饼的单价是x元，则火腿月饼的单价是元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，∴，答：鲜花饼的单价是6元，则火腿月饼的单价是9元；（2）解：设这位游客购买m个鲜花饼，则购买火腿月饼个，购买总费用为w元，则，∵购买火腿月饼数量不低于鲜花饼数量的，∴，解得，∵，∴当时，w有最小值为，此时，答：这位游客购买60个鲜花饼，则购买火腿月饼20个，费用最少为540元．35．（23-24八年级下·山东聊城·期末）为落实“五育并举”教育，强化体育锻炼，大力发展青少年体育运动，我县涌现出来一批体育特色学校．某学校计划购买篮球和足球共个，已知每个篮球的价格是元，每个足球的价格是元．设购买篮球个，购买两种求所需费用为元．(1)求与的函数表达式，其中；(2)若购买篮球的数量不超过足球数量的2倍．请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．【答案】(1)(2)购买篮球个，足球个，所需费用为元【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次不等式的应用是解题的关键．（1）由题意知，购买篮球个，则购买足球个，依题意得，，然后作答即可；（2）依题意得，，可求．由，，可知当时，，然后作答即可．【详解】（1）解：由题意知，购买篮球个，则购买足球个，依题意得，，与的函数表达式为；（2）解：依题意得，，解得，．∵，，∴当时，，∴费用最省的方案是购买篮球个，足球个，所需费用为元．36．（23-24八年级上·四川达州·期末）为了加强中华传统文化教育，某年级组织学生去博物馆参观，现有A，B两种客车可以租用．已知2辆A客车和2辆B客车可以坐150人，2辆A客车和3辆B客车坐的人数一样多．(1)请问A，B两种客车分别可坐多少人？(2)已知该年级共有600名学生．①请问如何安排租车方案，可以使得所有学生恰好坐下？②已知A客车150元一天，B客车130元一天，请问该年级租车最少花费多少钱？【答案】(1)A、B两种客车分别坐45，30人(2)①7种方案，见解析；②租车最少花费2060元【分析】本题考查二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和方程组解决问题．（1）设A、B分别坐a、b人，可得，即可解得A、B两种客车分别坐45，30人；（2）①设租用A客车x辆，则B需：辆，求出正整数x的值即可；②根据花费：．根据一次函数的性质可得结论【详解】（1）解∶设A、B两种客车分别坐a、b人．，解得，∴A、B两种客车分别坐45，30人．（2）①设租用A客车x辆，则B需：辆∵x为正整数且为正整数，∴，2，4，6，8，10，12．故一共有7种方案：0辆A客车和20辆B客车；2辆A客车和17辆B客车；4辆A客车和14辆B客车；6辆A客车和11辆B客车；8辆A客车和8辆B客车；10辆A客车和5辆B客车；12辆A客车和2辆B客车；②花费：．∵，W随x增大而减小．故当时，元．答：租车最少花费2060元．37．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元千克千米）甲养殖场乙养殖场设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元．(1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________；(2)求出与的函数关系式；(3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？【答案】(1)元，千克(2)(3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答．（1）根据题意直接得出结论；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省．【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克，则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：，故答案为：元，千克；（2）解：根据题意得：，与的函数关系式为：；（3）解：由（2）知，，，随的增大而增大，，，，当时，取得最小值，此时，答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省．38．（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4台平板电脑共需万元．(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元；(2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案．（1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元；（2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元，，解得：，答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元；（2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶，方案二∶关于a的函数表达式为∶，当时，得，即当时，选择方案一；当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多；当，得，即当时，选择方案二；综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱．39．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）某公司在两地分别库存挖掘机16台和12台，现在运往甲、乙两地支援建设，其中甲地需要15台，乙地需要13台．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是500元和400元．从地运一台到甲、乙两地的费用分别是300元和600元．设从地运往甲地台挖掘机，运这批挖掘机的总费用为元．(1)请填写下表，并写出与之间的函数关系式；运往地运出地甲乙总计A台______台16台B______台______台12台总计15台13台28台(2)公司应设计怎样的方案，能使运这批挖掘机的总费用最省？【答案】(1)表见解析，(2)A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台【分析】本题考查了一次函数的应用．（1）根据运送挖掘机的总费用地运往甲的费用地运往甲的费用地运往乙的费用地运往乙的费用，然后确定出y与x的函数关系式；（2）根据一次函数的性质来确定哪种方案最省．【详解】（1）解：根据题意填表如下：运往地运出地甲乙总计Ax台台16台B台台12台总计15台13台28台；（2）解：∵且，∴，又∵，y随x增大而增大，∴当时，能使运这批挖掘机的总费用最省，运送方案：A地的挖掘机运往甲地3台，运往乙地13台；B地的挖掘机运往甲地12台，运往乙地0台．40．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．(1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？(2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式；(3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用．【答案】(1)三人间间；双人间间(2)(3)人住三人间，人住双人间【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答．（1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解；（2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数；（3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答．【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间，根据题意得：，解得：，答：租住三人间间，双人间间；（2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元，；（3）解：因为，所以随着的增大而减小，故当满足、为整数，且最大时，即时，住宿费用最低，此时，答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元．所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间．题型五：最大利润问题(一次函数的实际应用)（难点）41．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元．(1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元；(2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润．【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元(2)购进副春联时销售利润最大，最大利润为元【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问题），一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意，利用题中的等量关系列出二元一次方程组、一次函数解析式及一元一次不等式组，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键．（1）设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，根据“购进40副春联和30对窗花共需410元，购进60副春联和80对窗花共需720元”列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设批发春联a副，总利润为W元，根据“总利润（售价进价）销售数量”即可得出W与a的函数关系式，根据总进价和总销售额的条件列出不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润．【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得：，解得：，每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元；（2）解：设批发春联a副，总利润为W元，∴，由题意可得：，解得：，∵在中，W随a的增大而增大，∴当时，W取得最大值，此时，购进副春联时销售利润最大，最大利润为元．42．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场计划从厂家购进、两款衣服共100件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进款衣服件，商场总利润为元．品名进价（元/件）9075售价（元/件）120100(1)求关于的函数关系式；(2)厂家规定的进货数量不得超过进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；(3)为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，结果发现：若100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，求、的值．【答案】(1)(2)购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元．(3)【分析】（1）根据题意可得利润等于两种服装的利润之和列函数关系式求解即可；（2）根据题意列不等式，求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．（3）根据商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，可得，再利用函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设购进款衣服件，商场总利润为元．∴款衣服件，根据题意，得；（2）解：由题意：的进货数量不得超过进货数量的两倍，得：，解得：，∵为整数，∴的最大值为，∵，随的增大而增大，当时，有最大值，最大值为：，种衣服的数量为：，答：购进的进货件，的进货件时，销售完这批衣服时获利最多，此时利润为元．（3）解：∵商场准备实施奖励计划，每卖出一件衣服奖励元，每卖一件衣服奖励元，∴，∵100件衣服均按原定售价卖完，无论购进商品多少件，商场利润恒为2000元，∴，解得：，【点睛】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键．43．（24-25八年级上·山西太原·期末）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元．(1)求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？(2)该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；(2)当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．（1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元；（2）解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意得：，即，∵，∴w随m的增大而增大，又∵，∴当时，w取得最大值，最大值为，此时．答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元．44．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）科技创新环境下，无人机产业蓬勃发展．某无人机配件销售公司有A和B两种配件，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进A配件50件和B配件25件．种类A种配件B种配件进价（元/件）a80售价（元/件）300100(1)求a的值；(2)若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，设本次销售获得总利润y元，购进A种配件x件，请写出y与x之间的函数关系式（利润售价进价）；(3)在（2）的条件下，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种的2倍．如何进货才能使本次销售获得的总利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)260(2)(3)当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并正确列式是解题关键．（1）根据“用元可购进产品件和产品件”列方程求解即可；（2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据总利润种配件的利润种配件利润即可建立函数关系式；（3）根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），根据一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：依题意得：，解得：，答：的值为；（2）解：由题意得，，∴y与x之间的函数关系式为；（3）解：由题意得，，解得：，且x为正整数，∵，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，最大值为：，此时，答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．45．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．(1)，两类图书每本的进价各是多少元？(2)该书店计划恰好用元来购进这两类图书，设购进类本，类本．①求关于的关系式．②进货时，类图书的购进数量不少于500本，已知类图书每本的售价为38元，类图书每本的售价为30元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？【答案】(1)，两类图书每本的进价分别为32元，24元(2)①，②当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，（1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需192元；购进6本类图书和2本类图书共需240元．”列出方程组，即可求解；（2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．【详解】（1）解：设，两类图书每本的进价分别为元，元．，解得答：，两类图书每本的进价分别为32元，24元．（2）①依题意；

∴②解得设利润为元．因为小于0，所以随的增大而减小，当取501时，，所以当购进类图书501本，类图书1332本时，书店所获利润最大，最大利润为10998元．46．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“13度的甜，14度的鲜”，杨梅是本地区重要农业经济产业，杨梅正成为兰溪乃至金华的“共富果”．根据提供的材料解决问题．材料一内容某商贸公司经销甲、乙两个品种的杨梅，甲种杨梅进价为16元/斤；乙品种杨梅的进货总金额y（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种杨梅的售价分别为20元/斤和25元/斤．材料二某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤．材料三杨梅运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种杨梅都很喜欢，于是决定把两种杨梅按同样的价格销售，并适当让利给消费者．任务一（1）已知，，求图中直线的函数表达式．任务二（2）若从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，收购的杨梅能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的杨梅所获总利润为w元（利润销售额成本）．求出w（单位：元）与乙品种杨梅的进货量x（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．任务三（3）在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么按同样的价格销售的杨梅的销售价应定为多少元？（结果保留整数）【答案】（1）（2），甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤（3）销售价应定为：22（元/斤）【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答．（2）根据甲、乙两个品种的杨梅共1000斤，其中乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤，得出，且，再结合一次函数的性质进行作答即可．（3）先算出甲乙两个品种的杨梅获得的利润以及甲乙品种杨梅的进货总金额，从而得出总成本，再除以总数量，即可作答．【详解】解：（1）依题意，设直线的函数表达式为，把，代入，得，解得，∴直线的函数表达式为；（2）依题意，乙品种杨梅的进货量x斤，则甲品种杨梅的进货量斤，∵乙品种的收购量不低于200斤，且不高于500斤．∴，由（1）得，则，∵，∴随的增大而增大，∵，∴当时，最大，最大值为，（斤），即甲杨梅的进货量为500斤，乙杨梅的进货量为500斤时获得的利润最大；（3）∴甲乙两个品种的杨梅获得的利润是（元），则乙品种杨梅的进货总金额是（元），甲品种杨梅的进货总金额是（元），∴总成本为（元），∴混合销售杨梅的销售价应定为（元）．47．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某博主在一段时间内制作并上传甲、乙两种作品共70篇，甲作品平均每篇获利110元，乙作品平均每篇获利150元，设该博主制作并上传甲作品篇，制作并上传这70篇作品共获利元．(1)求与之间的关系式．(2)若乙种作品的数量不超过甲种作品数量的，则该博主制作甲、乙两种作品各多少篇时获利最大？最大利润是多少？(3)由于网络管理需要，有的乙种作品需要再进行处理，每篇的处理费用是元．若总获利随的增大而减小，请求出的取值范围．【答案】(1)(2)该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元(3)【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用；（1）等量关系式：获利甲作品的获利乙作品的获利，列出函数关系式，即可求解；（2）由不等关系求出，利用一次函数的性质，即可求解；（3）等量关系式：获利甲作品的获利乙作品的获利乙作品的处理费，列出函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解；理解、的实际意义，能找出等量关系式列出函数关系式，并能熟练利用一次函数的性质进行求解是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，故与之间的关系式：；（2）解：由题意得，解得：，，且为整数，，当时，（元），（篇），该博主制作甲篇、乙篇时获利最大，最大利润元；（3）解：由题意得，总获利随的增大而减小，，解得：，．48．（24-25八年级上·四川成都·期末）2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元．(1)请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？(2)该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？【答案】(1)香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元(2)总利润的最大值是元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．（1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据题意得：，解得：．答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元；（2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，根据题意得：，即，∵，∴w随m的增大而减小，又∵，∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．答：总利润的最大值是元．49．（22-23八年级下·福建厦门·期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价乒乓球拍（元/套）45羽毛球拍（元/套）52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40(2)①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是．【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】（1）根据题意：，解得，答：a的值为35，b的值为40；（2）①由题意得：，∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，∴，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴，解得：，则x的取值范围为：，∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②由题意得：，∵，∴当即时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值，∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，即时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是．【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．50．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽．品名批发市场批发价：元/盆盆栽超市零售价：元/盆A种盆栽1219B种盆栽1015(1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；(3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值．【答案】(1)(2)商场能获得的最大利润为1820元(3)【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键．（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；（2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可；（3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽，根据题意，，由题意得：，解得：，答：该商场的采购费用y