挑战中考数学压轴题-高分必做(全套)

第一部分函数图象中点的存在性问题果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．将点A(2,4)代入得k＝8．＝－C两点间的水平距离和竖直距离都是4．由于∠DAC+∠ACD＝45°,∠ACE+∠ACD＝45°,所以∠DAC=∠ACE．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：②如果，那么解得．445所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是如图9，当⊙H与AC相切时，直径是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．4所以解得所以符合题意的点Q为 4第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．m（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．验到，∠CBF保持45°,存在∠BFC=∠BCE的时刻．1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF=∠EBC＝45°,或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关所以设对称轴与x轴的交点为P，那么．②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于综合①、②,符合题意的m为2+22．第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动到，如果∠GAF=∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．（1）抛物线的对称轴为直线x=1，解析式为顶点为（2）梯形O1A1B1C1的面积由此得到 轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE=∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF=∠GQE=∠PQD．第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．y=a(x-1)(x-4)，代入点C的坐标（02解得．所以抛物线的解析式为（2）设点P的坐标为(x,-1(x-1)(x-4))．（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为22+如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．2．中点F有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．121在Rt△ADH中，DH＝AD．所以AE＝DH2因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD=∠FDA．所以∠FAE=∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．121又因为AE＝AD，所以FM＝EA2又因为CM＝CA，∠CMF=∠CAE＝30°,所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF=∠ACE，CF＝CE．我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．和(a1)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在三种情况．1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．坐标是相等的．（2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为．已知A(0,2)，所以4所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1)，那么在点44离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y1相切．与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM由∠PDQ＝90°,∠MDN＝90°,可得∠PDM=∠QDN．所以所以．此时所以此时所以在Rt△ABC中所以∠QPD=∠C．由∠PDQ＝90°,∠CDE＝90°,可得∠PDF=∠CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．此时所以所以．此时所以如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰6对称轴．（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．＝－＝－设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．为顶点的三角形是等腰三角形1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起．如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y4x的图象交于点A，且与x轴交于的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．论三种情况．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．拖动E在射线CD上运动，可以体验到，△AEG可以两次成为直角三角形．1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．△CEF由CM//AB，得∠EMA=∠BAM．又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM=∠EAM．所以∠FAG=∠B．所以∠GAB=∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH=2如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2=∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°-2(∠4+∠5)，又因为∠CPE＝180°-(∠1+∠3)，所以∠1+∠3＝2(∠4+∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2=∠4=∠B．所以∠GAB=∠B．所以GA＝GB．像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一体验到，点E、D、F到x轴的距离都为定值．点D的坐标也可以写出来．点E的纵坐标为定值是算出来的．2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形am2=1反复用到．3．注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G．＝－如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．2所以可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．所以此时．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧与y轴（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作线可以构造相似三角形．4第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为(x,(x+2)(x-8))4＝－（3）若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M角形有且只有三个时，求直线l的解析式．....1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．3．灵活应用相似比解题比较简便．得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x1．D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG=∠CAO．所以．而D′H＝DH，所以所以D′的坐标为．（3）过点A、B分别作x轴的垂线，以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就根据对称性，直线l还可以是．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM=∠CEO．所在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点＝－（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是题目2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．当k＝－2时，反比例函数的解析式是．（2）在反比例函数中，如果y随x增大而增大，当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．2如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．（1）已知直线y=2x+4和点C(0，2)，则直线______和______是点C的直角线=6或OP＝1．分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ=如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ=在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．，．如图6，当两圆外切时时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．因此当或时，△ABC是直角三角形．22h2(3x)2h2222综合①②得，ΔABC的最大面积为2第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD=a，3x-4整理，得a=．所以x（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形．2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP=D△AEF－S△CEFEF(x-x)-1EF(x-x)＝－＝－D②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．DD第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°,所以即解得所以所以．＝－顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况．1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．＝－＝－＝－＝－（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D所以＝－（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．＝－解得．所以抛物线的解析式是．如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．所以因为x＝3在对称轴的右侧（如图4所以符合题意的点M的坐标为(1,)（如图3）2第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．N时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路3EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(AE),AP)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(2),t)EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up9(3),5)＝－所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．△ECH′，可以体验到，线段EQ的垂直Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．2将代入抛物线的解析式（3）或的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．已知平面直角坐标系xOy（如图1一次函数的图象与y轴交于点A，点M（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．可以成为矩形，此时B、D重合在原点．观察B、D的位置关系段AE的三等分点，存在两种情况．平移过程中的坐标罗列出来．2．B、D是线段AE的三等分点，分两种情况讨论，按照AB与AE的大小写出等量关3．根据矩形的对角线相等列方程．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为(-m,3)，与x轴的两个交点为A(-1-m,0)、B(1-m,0)，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为(m,-3)，与x轴的两个交点为①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而第（2）题②,探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为3，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1,0D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5,6)．（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角和直线DA与x轴的夹角都是45°,△CAE∽△EAD存在两种情况．1．由A、C、D三点的坐标，可以得到直线CA、直线DA与x轴的夹角都是45°,因此点E不论在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE=要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．因此不论点E在点A的左侧还是右侧，都有∠CAE=∠DAE．如果△CAE∽△DAE，那么它们全等，这是不可能的．（3）因为∠CAD＝90°,因此直角梯形存在两种情况．解得DF＝22．此时F、D两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以F(3,0)．解得CF=此时F、C两点间的水平距离、竖直距离都是，所以F(.如果第（3）题改为：点F在抛物线上，点F和点A、C、D构成梯形，求点F的坐标，那么就要分三种情况讨论了．解得x=±5．此时点F的坐标为(－5,16)．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，点B是这条直线上第一象限内的一个点，过点B作x轴的垂线，垂足为D，已知△ABD的面积为18．（2）如果抛物线经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上的一点，过点P作PQ//AC交x轴于点Q，如果点Q在线段AH上，且AQ=CP，求点P的坐标．况，四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形．1．△ABD是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点B的坐标．平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点P比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．（1）直线y＝x＋2与x轴的夹角为45°,点A的坐标为(－2,0)．因为△ABD是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．所以抛物线的解析式为②如图3，当四边形CAQP是等腰梯形时，作AC的垂直平分线交x轴于点F，那么点解得所以．其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．直距离等于7保持不变，∠DPE与∠PDH保持相等．画出对称轴就可以了．2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P两点间的垂直距离等于点P向右平移到直线x＝3时，就停止平移．所以抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3．②过点P作PH⊥y轴，垂足为H，那么∠PDH=∠DPE．所以S梯形因为CD//AB，所以∠CDB=∠ABO．OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．请打开几何画板文件名“12衢州24”，拖动点P在线段AB的左侧，存在等腰梯形ABPM．拖动点A′在线段AC上运动，可以体验到，Rt△A′OB′、AB的左侧，存在AM=BP．拖动点A′在线段AC上运动，发现S最大值为0.375．1．如果四边形ABPM是等腰梯形，那么AB为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB边分成的3小段，两侧的线段长线段．3．求△OEH的面积时，如果构造底边OH上的高EK，那么Rt△EHK的直角边的比为4．设点A′移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示．解方程得所以所以第（3）题也可以这样来解：设点A′的横坐标为a．＝－点P，与x轴的另一交点为点B．求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．达PO的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO的中点．解得所以二次函数的解析式为y=(x-4)2-4=x2-8x+12，顶点P的坐标为（4412=(x-2)(x-6)，知点B的坐标为（6，0＝－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(假设在等腰梯形OPB),由两点间的距离公式)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(D),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(点),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(D),6)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(的坐标),解得)＝－积．由于所以S△第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆．以P为圆心，OB长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．方法二，按照对边相等画圆．以B为圆心，OP长为半径画圆，与直线y＝2x有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点．而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF（1）抛物线的解析式为．（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．长最小（如图2因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．＝－所以抛物线的解析式为55△CBK28△CBK△CBK=.1212（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．2＝－所以抛物线的解析式为因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．所以S（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．所以S甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积满分解答解得5第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高>1)作x轴的平行线分别交曲线和于M、N两点．（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若若不存在，请说明理由．线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．代入点A(1，0)和点B(2，1)，得解得所以直线l的解析式为y=x-1．（2）由点P(p,p-1)(p＞1)的坐标可知，点P在直线y=x-1上x轴的上方．如图2，（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．2情形一，如图5，∠AMN＝90°,此时点M的坐标为（1，2点P的坐标为（3，2情形二，如图6，∠MAN＝90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面部分的面积；若改变，请说明理由．叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图55那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为3，如图7所示．交于点C，其中点A的坐标为(－3,0)，点（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（3）设点M在线段AB上，点N在线段BC上，如果线段MN被直线CD垂直平分，直平分MN时，∠NDC=∠ADC=∠ACD，此时DN//AC．1．准确描绘A、B、C、D的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN的位置，近似DC垂直平分MN时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．解得．所以抛物线的解析式为抛物线的对称轴为直线x＝1．（3）如图3，因为AD＝AC，所以∠ACD=∠ADC．如果线段MN被直线CD垂直平分，那么∠ADC=∠NDC．这时∠ACD=∠NDC．所以DN//AC．解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是放大还原事实的真相，如图4所示．5②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求xOA相切于点H，⊙A′与⊙D可以外切一次，不能内切．1．把不变的量先标记出来，圆心A到直线OB的距离AE＝3，翻折以后的圆心A′的位2．若⊙A′与直线OA相切，那么圆心A′到直线OA构造出垂线，以AA′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的．3．探究两圆相切，在罗列三要素R、r、d的过程中，发现先要突破圆心距A′D．5作A′H⊥OA，垂足为H．若⊙A′与直线OA相切，那么半径等于解方程5得解得所以两圆不可能内切．2此时因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动当时，求AP的长；（3）在（2）的条件下，当tan时（如图3存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．距围成一个直角三角形．同时与⊙Q相外切．拖动点P使得，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．解得所以如图7，设⊙M的半径为r．O解得同样的，设⊙M的半径为r．O（1）这条抛物线的对称轴是________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是_____；11AC与直线PQ交于点D，求：图物线上运动，观察图像“＋随P”和“³随P”，可以体验到，当点P运动到抛物线的顶点时，点P与点Q重合，此时PD＋QD最大，PD²QD也最大．线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标．2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．△△时设直线PQ与x轴交于点H，那么（3）①如图4，由A(4,0)、C(2又因为直线PQ与x轴的夹角为45°,所以△CDQ是等腰直角三角形．此时PQ′的最大值为62，即PD＋DQ的最大值为62．因此所以当时，PD²QD的最大＝－于是PD＋DQ＝2(x-x)+2(x-x)＝2(2x-x-x)构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明位置是确定不动的，这是因为点P、C是确定不动的落在线段AB′′上时，四边形的周长最小．2．直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形．3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．＝－＝－，．所以顶点为C(3,-25)所以△AOD∽△DOB．因此∠ADO=∠DBO．当点P在x轴下方圆的内部时，∠APB（3）若m＞3，当∠APB为直角时，点P与点D关于抛物线的对称轴对称，因此点P2C′四点所构成的四边形中，AB和P′C′的长是确定的．如图4，线段AB′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．如图2，点P(3,－2)先向左平移3个单位，再向下平移9个单位得到点C(3,-25)，如图3，点B(4,0)先向左平移3个单位，再向下平移9个单位得到点B'(5,-9)．所以点B′′的坐标为(5,-41)．2由于，所以抛物线向左平移了个单位．第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°,也可以根据勾股定理的逆定理证明．第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可小值．小值．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．（1）由∠OAE=∠OBA，∠AOE=∠BOA，得△AOE∽△BOA．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为(,1)7当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．解得此时．（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最第二部分函数图象中点的存在性问题（1）求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线②设动点A的坐标为(a,b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称．1．先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式．2．点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况．D如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是(5,-5)。1段OC的长为y．之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．保持相似，∠OCA的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠OPC=∠OCA．从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大．2．第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理．3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析．所以AH=EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(1),3)AC=x整理，得定义域为x＞0．（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA=∠OPC，那么△OCA∽△如图5，图6，如果∠OCA=∠OPC，D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延①求证：∠BDE=∠ADP；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否＝－（2）①如图2，∠BDE=∠CDE=∠ADP；②如图3，∠ADP=∠DEP+∠DPE，如图4，∠BDE=∠DBP+∠A，因为∠DEP=∠DBP，所以∠DPE=∠A＝45°.所以∠DFE=∠DPE＝45°.因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到4因此D(0,)．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)435点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．公共直角边的直角三角形．过点M作MD⊥AB，垂足为D．因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(3),2)当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．EQ\*jc3\*hps29\o\al(\s\up8(4),5)于是得到①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．14（1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．CMPN中，利用勾股定理列关于x(⊙P的半径）的方程．4EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),4)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),6)EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up10(15),2)（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF是正方形（如图3设正方形的边长为m．2解得．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．解得所以2顶点M的坐标为．因此，当时，点O′落在抛物线上（如图2当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点．1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式＝－（2）①设点P、Q运动的时间为t．44.