2025年应用统计学专业研究生入学考试试卷及答案

2025年应用统计学专业研究生入学考试试卷及答案一、填空题（每空1分，共10分）

1.统计学是研究数据的_______、_______、_______和_______的学科。

2.样本量越大，抽样误差_______。

3.概率分布分为_______分布和_______分布。

4.离散型随机变量的期望值（期望）用符号_______表示。

5.假设检验的零假设用符号_______表示。

6.相关系数r的取值范围是_______。

7.在一元线性回归模型中，误差项的方差称为_______。

8.随机变量的分布函数F(x)满足_______、_______、_______和_______。

9.独立同分布的随机变量X，若E(X)存在，则E(X^n)等于_______。

10.假设检验的备择假设用符号_______表示。

二、选择题（每题2分，共10分）

1.下列哪个不是统计学的分支？

A.描述统计学

B.推断统计学

C.应用统计学

D.经济统计学

答案：D

2.下列哪个不是概率分布的类型？

A.离散型概率分布

B.连续型概率分布

C.离散型随机变量

D.连续型随机变量

答案：D

3.下列哪个不是假设检验的步骤？

A.提出假设

B.选择检验方法

C.确定显著性水平

D.计算统计量

答案：D

4.下列哪个不是相关系数的性质？

A.r的取值范围是[-1,1]

B.r=1表示完全正相关

C.r=-1表示完全负相关

D.r=0表示没有线性关系

答案：A

5.下列哪个不是线性回归模型的性质？

A.线性回归模型是多元的

B.线性回归模型是线性的

C.线性回归模型是可识别的

D.线性回归模型是唯一的

答案：A

6.下列哪个不是分布函数的性质？

A.F(x)单调不减

B.F(x)右连续

C.F(x)≤1

D.F(x)≥0

答案：C

7.下列哪个不是随机变量的性质？

A.随机变量的取值是随机的

B.随机变量的取值是确定的

C.随机变量的取值是唯一的

D.随机变量的取值是可预测的

答案：B

8.下列哪个不是假设检验的类型？

A.单样本假设检验

B.双样本假设检验

C.单因素方差分析

D.双因素方差分析

答案：C

9.下列哪个不是线性回归模型的假设？

A.残差项独立同分布

B.残差项与自变量不相关

C.残差项的方差为常数

D.残差项的均值为0

答案：C

10.下列哪个不是概率分布的例子？

A.二项分布

B.正态分布

C.负二项分布

D.指数分布

答案：C

三、判断题（每题2分，共10分）

1.统计学是一门应用数学的分支。（）

答案：√

2.抽样误差可以完全消除。（）

答案：×

3.概率分布可以描述随机变量的所有可能取值及其发生的概率。（）

答案：√

4.假设检验的目的是确定样本数据是否支持原假设。（）

答案：×

5.相关系数r的绝对值越大，表示两个变量之间的线性关系越强。（）

答案：√

6.线性回归模型中，自变量与因变量之间存在线性关系。（）

答案：√

7.分布函数可以描述随机变量的取值范围及其发生的概率。（）

答案：√

8.独立同分布的随机变量，其期望值和方差相等。（）

答案：×

9.假设检验的备择假设是对原假设的否定。（）

答案：√

10.概率分布可以描述随机变量的所有可能取值及其发生的概率。（）

答案：√

四、简答题（每题5分，共25分）

1.简述统计学的基本概念。

答案：统计学是一门研究数据的收集、整理、分析和解释的学科。统计学的基本概念包括：总体、样本、变量、数据、概率分布、期望、方差、协方差、相关系数等。

2.简述抽样误差和抽样分布的关系。

答案：抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。抽样分布是指样本统计量的概率分布。抽样误差与抽样分布的关系是：抽样误差越大，抽样分布的方差越大；抽样误差越小，抽样分布的方差越小。

3.简述假设检验的基本步骤。

答案：假设检验的基本步骤包括：提出假设、选择检验方法、确定显著性水平、计算统计量、作出决策。

4.简述相关系数的性质。

答案：相关系数的性质包括：r的取值范围是[-1,1]，r=1表示完全正相关，r=-1表示完全负相关，r=0表示没有线性关系。

5.简述线性回归模型的性质。

答案：线性回归模型的性质包括：线性回归模型是多元的，线性回归模型是线性的，线性回归模型是可识别的，线性回归模型是唯一的。

五、计算题（每题10分，共50分）

1.从一批产品中随机抽取10件，其重量如下（单位：kg）：2.5、2.7、2.8、2.9、3.0、3.1、3.2、3.3、3.4、3.5。求这批产品的平均重量、方差和标准差。

答案：平均重量=3.0kg，方差=0.025kg²，标准差=0.158kg。

2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=50，σ=10。求P(X≤60)、P(X≥40)、P(40≤X≤60)。

答案：P(X≤60)=0.8413，P(X≥40)=0.1587，P(40≤X≤60)=0.6826。

3.设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ₁,σ₁²)，Y服从正态分布N(μ₂,σ₂²)。求X+Y的分布类型、期望和方差。

答案：X+Y服从正态分布N(μ₁+μ₂,σ₁²+σ₂²)，E(X+Y)=μ₁+μ₂，Var(X+Y)=σ₁²+σ₂²。

4.设随机变量X和Y相互独立，且X服从二项分布B(n,p)，Y服从泊松分布P(λ)。求X+Y的分布类型、期望和方差。

答案：X+Y服从负二项分布NB(n,p,λ)，E(X+Y)=np+λ，Var(X+Y)=np(1-p)+λ。

5.设随机变量X和Y相互独立，且X服从均匀分布U(a,b)，Y服从指数分布E(λ)。求X+Y的分布类型、期望和方差。

答案：X+Y服从伽马分布Γ(k,θ)，E(X+Y)=kθ，Var(X+Y)=kθ²。

六、综合题（每题15分，共30分）

1.某工厂生产一批产品，其重量服从正态分布N(μ,σ²)。已知该批产品的平均重量为3.0kg，标准差为0.1kg。现从该批产品中随机抽取10件，求这10件产品的重量不超过3.1kg的概率。

答案：P(X≤3.1)=0.9772。

2.某公司生产的产品合格率服从二项分布B(n,p)。已知该公司生产的100件产品中有90件合格，求该批产品的合格率p。

答案：p=0.9。

3.某城市居民月收入服从正态分布N(μ,σ²)。已知该城市居民月收入的平均值为5000元，标准差为1000元。求该城市居民月收入在4000元至6000元之间的概率。

答案：P(4000≤X≤6000)=0.6826。

4.某批产品的重量服从正态分布N(μ,σ²)。已知该批产品的平均重量为3.0kg，标准差为0.1kg。现从该批产品中随机抽取10件，求这10件产品的重量方差大于0.01kg²的概率。

答案：P(Var(X)>0.01)=0.1587。

本次试卷答案如下：

一、填空题

1.数据收集、数据整理、数据分析、数据解释

2.越小

3.离散型、连续型

4.E(X)

5.H₀

6.[-1,1]

7.残差方差

8.单调不减、右连续、F(x)≤1、F(x)≥0

9.E(X^n)

10.H₁

二、选择题

1.D

2.D

3.D

4.A

5.A

6.C

7.B

8.C

9.C

10.C

三、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

6.√

7.√

8.×

9.√

10.√

四、简答题

1.总体：研究对象的全体。

样本：从总体中随机抽取的一部分。

变量：研究对象的各种特征。

数据：通过观察或实验得到的具体数值。

概率分布：描述随机变量所有可能取值及其发生的概率。

期望：随机变量的平均值。

方差：随机变量取值与其期望值之差的平方的期望值。

协方差：两个随机变量取值之差的乘积的期望值。

相关系数：衡量两个随机变量线性关系强度的指标。

2.抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。抽样分布是指样本统计量的概率分布。抽样误差与抽样分布的关系是：抽样误差越大，抽样分布的方差越大；抽样误差越小，抽样分布的方差越小。

3.假设检验的基本步骤包括：

提出假设：根据问题提出原假设和备择假设。

选择检验方法：根据问题选择合适的检验方法。

确定显著性水平：确定犯第一类错误（拒绝正确假设）的概率。

计算统计量：根据样本数据计算统计量。

作出决策：根据统计量和显著性水平作出是否拒绝原假设的决策。

4.相关系数r的性质包括：

r的取值范围是[-1,1]。

r=1表示完全正相关。

r=-1表示完全负相关。

r=0表示没有线性关系。

5.线性回归模型的性质包括：

线性回归模型是多元的。

线性回归模型是线性的。

线性回归模型是可识别的。

线性回归模型是唯一的。

五、计算题

1.平均重量=(2.5+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.3+3.4+3.5)/10=3.0kg

方差=[(2.5-3.0)²+(2.7-3.0)²+(2.8-3.0)²+(2.9-3.0)²+(3.0-3.0)²+(3.1-3.0)²+(3.2-3.0)²+(3.3-3.0)²+(3.4-3.0)²+(3.5-3.0)²]/9=0.025kg²

标准差=√0.025=0.158kg

2.P(X≤60)=Φ((60-50)/10)=Φ(1)=0.8413

P(X≥40)=1-Φ((40-50)/10)=1-Φ(-1)=1-0.1587=0.8413

P(40≤X≤60)=Φ((60-50)/10)-Φ((40-50)/10)=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-0.1587=0.6826

3.X+Y服从正态分布N(μ₁+μ₂,σ₁²+σ₂²)，E(X+Y)=μ₁+μ₂，Var(X+Y)=σ₁²+σ₂²

4.X+Y服从负二项分布NB(n,p,λ)，E(X+Y)=np+λ，Var(X+Y)=np(1-p)+λ

5.X+Y服从伽马分布Γ(k,θ)，E(X+Y)=kθ，Var(X+Y)=kθ²

六、综合题

1.P(X≤3.1)=Φ((3.1-3.0)/0.1)=Φ(1)=0.8