高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理习题含解析新人教A版选修1-2

PAGE5-其次章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满意|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．依据给出的数塔揣测123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1111；1234×9＋5＝111111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的其次个加数相同，所以123456×9＋7＝1111111.答案：B3．视察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：视察可发觉规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形态均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．肯定是零 B．不肯定是偶数C．肯定是偶数 D．是整数但不肯定是偶数解析：当n为偶数时，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]＝eq\f(1,8)(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以eq\f(1,8)(n2－1)[1－(－1)n]的值肯定为偶数．答案：C5．在平面直角坐标系内，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a和b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．ax＋by＋cz＝1解析：从方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应当是eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1.答案：A二、填空题6．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an＝________．解析：计算得a2＝4，a3＝9，所以猜想an＝n2.答案：n27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\f(S1,S2)·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶88．视察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sinx)′＝cosx；③(ex－e－x)′＝ex＋e－x；④(xcosx)′＝cosx－xsinx.依据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sinx为奇函数，f′(x)＝cosx为偶函数；对于③，p(x)＝ex－e－x为奇函数，p′(x)＝ex＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝xcosx为奇函数，q′(x)＝cosx－xsinx为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你视察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.B级实力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：依据上面的规律，第n个“金鱼”图须要火柴的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②起先每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再留意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．视察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为eq\f(3,4)，猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（2α＋60°）,2)＋sinαcos(α＋30°)＝1－eq\f(cos2α,2)＋eq\f(cos2αcos60°－sin2αsin60°,2)＋sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(sinα,2