湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下学期期末联考数学 含解析

湖北省武汉市5G联合体20222023学年高一下学期期末联考数学Word版含解析（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.若复数$z=3+4i$，则$z^2$的值为（）A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3,f(1)=5,f(2)=10$，则$a+b+c$的值为（）A.7B.8C.9D.103.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=2,a_4=10$，则公差$d$的值为（）A.2B.3C.4D.54.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin\theta\cos\theta$的值为（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$5.若二次方程$x^22kx+k^21=0$有两个相等的实数根，则$k$的值为（）A.1B.1C.0D.2二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1.若$\log_232=a$，则$a$的值为________。2.若等比数列$\{b_n\}$中，$b_1=3,b_3=27$，则公比$q$的值为________。3.若函数$y=2x^23x+2$在$x=k$处取得最小值，则$k$的值为________。4.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限的角，则$\cos\alpha$的值为________。5.若点$(2,3)$在直线$y=mx+n$上，则$n$的值为________。三、解答题（共3题，每题10分，共30分）1.已知函数$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$的单调区间和极值。2.解不等式组$\begin{cases}x+2y\leq6\\2xy\geq4\\x,y\geq0\end{cases}$，并表示其解集在平面直角坐标系中的区域。3.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3,d=4$，求证：数列$\{a_n^2\}$是等差数列，并求出其通项公式。四、证明题（共2题，每题10分，共20分）1.证明：对于任意正整数$n$，$n^2<2^n$。2.证明：在直角三角形中，若一个内角的正弦值等于其邻角的余弦值，则这个三角形是等腰直角三角形。五、探究题（共5小题，每小题4分，共20分）1.探究函数$y=ax^2+bx+c$的图像在$a>0$时，如何随$b$和$c$的变化而变化。2.探究等差数列$\{a_n\}$和等比数列$\{b_n\}$中，当$n$趋向于无穷大时，数列的项的变化趋势。3.探究直线$y=mx+n$与圆$x^2+y^2=r^2$的位置关系，并讨论$m,n,r$的取值范围。4.探究函数$y=\sinx$和$y=\cosx$在区间$[0,2\pi]$上的图像特征和性质。5.探究实数集$\mathbb{R}$上函数$f(x)=|x|$和$g(x)=x^2$的性质和图像特征。六、计算题（共3题，每题10分，共30分）1.计算log327log28。2.已知sinalphafrac12，cosalphafrac34，其中alpha是第二象限的角，计算sin2alpha和cos2alpha的值。3.计算等差数列an中，a12,d3的前n项和Sn。七、应用题（共2题，每题10分，共20分）1.某公司生产一种产品，每件产品的成本是100元，售价是150元。若每月生产的件数超过1000件，则每件产品的成本降低到80元。求该公司每月的利润最大值。2.已知函数f(x)x33x22，求f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值。八、分析题（共2题，每题10分，共20分）1.分析函数yax2bxc的图像在a<0时，如何随b和c的变化而变化。2.分析等差数列an和等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项的变化趋势。九、讨论题（共2题，每题10分，共20分）1.讨论直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系，并讨论m,n,r的取值范围。2.讨论函数ysinx和ycosx在区间[0,2pi]上的图像特征和性质。十、综合题（共5小题，每小题4分，共20分）1.综合探究函数yax2bxc的图像在a>0和a<0时，如何随b和c的变化而变化。2.综合探究等差数列an和等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项的变化趋势。3.综合探究直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系，并讨论m,n,r的取值范围。4.综合探究函数ysinx和ycosx在区间[0,2pi]上的图像特征和性质。5.综合探究实数集mathbbR上函数f(x)x和g(x)x2的性质和图像特征。一、选择题答案：1.B2.C3.D4.A5.B二、填空题答案：1.22.13.44.55.6三、解答题答案：1.(x2)22.(y+3)23.(x1)(x+1)4.(y2)(y+2)5.(x3)(x+1)四、证明题答案：1.证明：已知a2b2c2，且abc。要证明a2b2c2。由已知条件，可得a2b2，b2c2。因此，a2c2。又因为abc，所以a2b2c2。得证。2.证明：已知sinalphacosbeta，且0<alpha,beta<90°。要证明alphabeta。由已知条件，可得sinalphacosbeta。因为0<alpha,beta<90°，所以sinalpha和cosbeta都是正数。因此，sinalphacosbeta。得证。五、探究题答案：1.当a>0时，函数yax2bxc的图像是一个开口向上的抛物线。随着b的增大，抛物线的顶点向左移动；随着c的增大，抛物线的顶点向上移动。2.在等差数列an中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于一个常数，即数列的极限。在等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于0或无穷大，具体取决于公比的大小。3.直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系取决于m,n,r的取值。当m2n2r2时，直线与圆相离；当m2n2r2时，直线与圆相切；当m2n2r2时，直线与圆相交。4.函数ysinx在区间[0,2pi]上的图像是一个周期为2pi的波形，最大值为1，最小值为1。函数ycosx在区间[0,2pi]上的图像也是一个周期为2pi的波形，最大值为1，最小值为1。5.函数f(x)x在实数集mathbbR上的图像是一条经过原点的直线，斜率为1。函数g(x)x2在实数集mathbbR上的图像是一个开口向上的抛物线，顶点为原点。六、计算题答案：1.log3273，log283。所以，log327log28339。2.sinalphafrac12，cosalphafrac34。所以，sin2alpha2sinalphacosalpha2frac12frac34frac14。cos2alphacos2alphasin2alpha(frac34)2(frac12)2frac916frac14frac716。所以，sin2alphafrac14，cos2alphafrac716。3.等差数列an中，a12,d3。所以，ana1(n1)d23(n1)。所以，Snn(a1an)223n3)n(43n3)2n23n。七、应用题答案：1.设每月生产的件数为x，则每月的利润为P(x)100x150x。当0x1000时，P(x)50x；当x>1000时，P(x)70x。所以，当x>1000时，P(x)的值更大。因此，该公司每月的利润最大值为P(1000)70100070000元。2.函数f(x)x33x22的导数为f'(x)3x26x。令f'(x)0，解得x0,2。所以，f(x)在区间[2,2]上的最大值为f(0)2，最小值为f(2)2。八、分析题答案：1.当a<0时，函数yax2bxc的图像是一个开口向下的抛物线。随着b的增大，抛物线的顶点向左移动；随着c的增大，抛物线的顶点向下移动。2.在等差数列an中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于一个常数，即数列的极限。在等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于0或无穷大，具体取决于公比的大小。九、讨论题答案：1.直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系取决于m,n,r的取值。当m2n2r2时，直线与圆相离；当m2n2r2时，直线与圆相切；当m2n2r2时，直线与圆相交。2.函数ysinx和ycosx在区间[0,2pi]上的图像特征和性质如下：ysinx的图像是一个周期为2pi的波形，最大值为1，最小值为1；ycosx的图像也是一个周期为2pi的波形，最大值为1，最小值为1。十、综合题答案：1.综合探究函数yax2bxc的图像在a>0和a<0时，如何随b和c的变化而变化。当a>0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线，随着b的增大，抛物线的顶点向左移动；随着c的增大，抛物线的顶点向上移动。当a<0时，函数的图像是一个开口向下的抛物线，随着b的增大，抛物线的顶点向左移动；随着c的增大，抛物线的顶点向下移动。2.综合探究等差数列an和等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项的变化趋势。在等差数列an中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于一个常数，即数列的极限。在等比数列bn中，当n趋向于无穷大时，数列的项趋近于0或无穷大，具体取决于公比的大小。3.综合探究直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系，并讨论m,n,r的取值范围。直线ymxn与圆x2y2r2的位置关系取决于m,n,r的取值。当m2n2r2时，直线与圆相离；当m2n2r2时，直线与圆相切；当m2n2r2时，直线与圆相交。4.综合