2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课后篇巩固探究含解析北师大版必修2

PAGEPAGE15.2平行关系的性质课后篇巩固探究A组基础巩固1.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a⫋β,α∩β=b,则平面α内与b相交的直线与a的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.平行或异面答案C2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H两点,则HG与AB的位置关系是()A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定解析∵E,F分别是AA1和BB1的中点,∴EF∥AB.又AB⊈平面EFGH,EF⫋平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.又AB⫋平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,∴AB∥GH.答案A3.a是平面α外的一条直线,过a作平面β,使β∥α,这样的平面β()A.只能作一个 B.至多可以作一个C.不存在 D.至少可以作一个解析因为a在平面α外,所以a∥α或a∩α=P.当a∥α时,过a可作唯一的平面β,使β∥α;当a∩α=P时,过a不能作平面β,使β∥α,故至多可以作一个.答案B4.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则△A'B'C'与△ABC面积的比为()A.2∶5 B.3∶8 C.4∶9 D.4∶25解析由题意知,△A'B'C'∽△ABC,从而S△答案D5.α,β,γ为三个不重合的平面,a,b,c为三条不同的直线,则下列命题中不正确的是.

①a∥cb∥c⇒a∥b;②a③α∥cβ∥c⇒α∥β;④α⑤α∥ca∥c⇒α∥a;⑥解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a,b可以相交,还可以异面;③中α,β可以相交;⑤中a可以在α内;⑥中a可以在α内.答案②③⑤⑥6.如图所示为长方体被一个平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形态为.

解析因为原来的几何体是长方体,所以平面ABFE∥平面DCGH,从而可得EF∥HG,同理可得HE∥GF,故EFGH是平行四边形.答案平行四边形7.如图所示,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFFC=.解析连接AC交BE于点G,连接FG.因为PA∥平面EBF,PA⫋平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以PFFC又AD∥BC,E为AD的中点,所以AGGC=AE答案18.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点,求证:直线MN∥平面OCD.证明取OB的中点G,连接GN,GM.在△OAB中,GM为中位线,∴GM∥AB.又AB∥CD,∴GM∥CD.∵GM⊈平面OCD,CD⫋平面OCD,∴GM∥平面OCD.在△OBC中,GN为中位线,∴GN∥OC.∵GN⊈平面OCD,OC⫋平面OCD,∴GN∥平面OCD.∵GM∩GN=G,∴平面GMN∥平面OCD.∵MN⫋平面GMN,MN⊈平面OCD,∴MN∥平面OCD.9.导学号91134017如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证:(1)D为BC的中点;(2)平面A1BD1∥平面AC1D.证明(1)连接A1C交AC1于点O,连接OD,则O为A1C的中点,因为A1B∥平面AC1D,A1B⫋平面CA1B,平面CA1B∩平面ADC1=OD,所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点,所以D为BC的中点.(2)因为D1为B1C1的中点,由三棱柱的性质知,C1D1BD,所以四边形BDC1D1为平行四边形.所以BD1∥DC1.因为BD1⊈平面AC1D,C1D⫋平面AC1D,所以BD1∥平面AC1D.连接D1D,因为D1,D分别为B1C1,BC的中点,所以D1DB1B.因为B1BA1A,所以D1DA1A.所以四边形A1ADD1为平行四边形.所以A1D1∥AD.因为A1D1⊈平面AC1D,AD⫋平面AC1D,所以A1D1∥平面AC1D.因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1BD1∥平面AC1D.B组实力提升1.平面α截一个三棱锥,若截面是梯形,则平面α必定和这个三棱锥的()A.底面平行 B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱 D.仅与一条棱平行解析当平面α平行于某一个面时,截面为三角形,故A,B错.当SA∥平面α时,如图所示.SA⫋平面SAB,平面SAB∩平面α=DG,所以SA∥DG,同理SA∥EF,所以DG∥EF,同理若BC∥平面α时,得到GF∥DE.因为截面是梯形,所以只能有一条棱与之平行.答案D2.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,C,过点P的直线n与α,β分别交于点B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为()A.16 B.24或24C.14 D.20解析第一种状况,如图所示,当点P在α,β的同侧时,设BD=x,则PB=8-x,∴PAAC=PBBD.其次种状况,如图所示,当点P在α,β中间时,设PB=x.∴PDPC∴x=6×83=16,∴答案B3.设正三棱锥A-BCD的棱长均为4,M是棱AD的中点,过BM作截面平行于AC,交CD于点N,则该截面BMN的面积等于.

解析因为AC∥平面BMN,由线面平行的性质定理可知AC∥MN,所以N应为CD的中点,如图所示.由题意可求得BM=BN=32×4=23,MN=2设等腰三角形BMN的高等于h,则h2=(23)2-1=11.所以S△BMN=12×11×2答案114.已知过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.

解析因为过A1,C1,B的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,且正方体的两个底面相互平行,所以由两个平面平行的性质定理知l∥A1C1.答案平行5.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N,若AN=mAC,则m=.

解析因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM.又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=12A1C1=12所以N为AC的中点,m=12答案16.已知平面α∥平面β,△ABC与△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'都交于点O,点O在α,β之间,若S△ABC=32,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为.解析依据题意有S△ABC=32∵AA',BB'相交,∴直线AA',BB'确定一个平面ABA'B',∵平面α∥平面β,∴AB∥A'B',易得△ABO∽△A'B'O,①△ABC∽△A'B'C',②由①得ABA由②得S△故S△A'B'C'=23答案27.导学号91134018已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的长度.解①当点S在α,β之间时,如图所示,连接AC,BD,已知AB∩CD=S,设AB,CD构成平面γ,则γ∩α=AC,γ∩β=BD.因为α