2025版高考数学大一轮复习第七章立体几何第37讲空间几何体的三视图直观图表面积和体积课时达标文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第37讲空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积课时达标一、选择题1．下列说法正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点D解析由棱柱和棱锥的概念可知A，B，C项均错误．由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分，故棱台各侧棱的延长线交于一点．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不行能是()D解析由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D项，则正视图应为，故D项不行能．故选D.3．(2024·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4C解析由三视图可知该几何体底面为一个直角梯形，且有一棱与底面垂直，因此在四个侧面中有3个直角三角形．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)B解析三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5).故选B.5．已知某个几何体的三视图如图所示，依据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(4,9)C.eq\r(6)－2 D．3eq\r(6)－6C解析由三视图可知该几何体为三棱锥，设内切球半径为r，则由棱锥的体积公式有eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，其中S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，h＝2，S1，S2，S3，S4分别是三棱锥四个面的面积，S1＝S2＝S＝2，S3＝S4＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以4＝(4＋2eq\r(6))r，解得r＝eq\r(6)－2.6．(2024·全国卷Ⅱ)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63πC．42π D．36πB解析依题意，题中的几何体是用一个平面将一个底面半径为3，高为10的圆柱截去一部分后所剩余的部分，可在该几何体的上方拼接一个与之完全相同的几何体，从而形成一个底面半径为3，高为10＋4＝14的圆柱，因此该几何体的体积等于eq\f(1,2)×π×32×14＝63π.故选B.二、填空题7．(2024·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其全部面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析由题意知所给的几何体是棱长均为eq\r(2)的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．解析如图所示：因为OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，则直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是________．解析依据三视图可知原几何体如图所示，最长棱为AC，所以AE＝2，EB＝2，ED＝3，DC＝4，所以EC＝5，所以AC＝eq\r(29).答案eq\r(29)三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA的长．解析(1)该四棱锥的俯视图是边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11．现须要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形态是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形态是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．AB＝6m，PO1＝解析由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．12．已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M为EF的中点，求多面体M－ABCD的外接球的表面积和体积．解析记多面体M－ABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，则Q，H分别为矩形ABCD和△ABM外接圆的圆心．连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ.设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQ＝d，因为矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M为EF的中点，所以MN＝eq\f(3\r(3),2)，又AB＝3，AD＝2，所以AN＝NB＝eq\f(3,2)，NQ＝1，所以R2＝AN2＋NQ2＋OQ2＝MH2＋OH2，即eq\f(9,4)＋1＋d2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－d))2，所以d＝eq\f(\r(3),2)，R＝2，所以多面体M－ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π，体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).13．[选做题](2024·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．解析由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝eq\r(2)m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)·m2·m＝eq\f(1,3)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(