2024-2025学年高中数学第1部分第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量基本定理讲义含解析苏教版选修2-1

PAGEPAGE103.1.3空间向量基本定理eq\a\vs4\al([对应学生用书P53])空间向量基本定理某次反恐演习中，一特殊行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1000m，再往东600m处的某大厦5楼(每层楼高3.5m)，行动小组快速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1000m”、“东600m”、“5楼”这三个量确定，设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p表示出来．提示：p＝1000e1＋600e2＋14e3.1．空间向量基本定理假如三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间随意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.基底空间任何一个向量，都可以用空间随意三个向量惟一表示吗？提示：不肯定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e1，e2，e3不共面时，空间任何一向量才可以用e1，e2，e3惟一表示，否则不行能表示．1．基底和基向量假如三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底假如空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫做正交基底．特殊地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面对量组{a，b，c}可以线性表示出空间的随意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中随意三个不共面对量均可作为空间向量的基底．eq\a\vs4\al([对应学生用书P54])基底的概念[例1]若{a，b，c}是空间的一个基底．试推断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨]推断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通]空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面对量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试推断{，，}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由．解：假设、、共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x、y使＝x＋y成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解，即不存在实数x、y使＝x＋y，∴，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底，设＝p＋q＋z，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3.∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p－3q＋z＝2，,2p＋q＋z＝－1，,－p＋2q－z＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝17，,q＝－5，,z＝－30.))∴＝17－5－30.用基底表示向量[例2]如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a、b、c表示向量.[思路点拨]＝－→用表示→用、表示，用、表示→用表示→用、表示→用、表示[精解详析]＝－，∵＝eq\f(2,3)，∴＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)(b＋c)，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)(b＋c)，∴＝eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)(b＋c)＝－eq\f(1,3)a，即＝－eq\f(1,3)a.[一点通]用基底表示向量的方法及留意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，视察图形，就近表示所需向量．(2)比照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此接着下去，直到全部向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确运用三角形法则及平行四边形法则．3.如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值．(1)＝x＋y＋z；(2)＝x＋y＋z.解：(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋又＝x＋y＋z∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.4．如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.解：连接BO，则＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝－a＋eq\f(1,2)＝－a＋eq\f(1,2)(＋)＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.空间向量基本定理的应用[例3]证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点相互平分．[思路点拨]利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1，设点O是AC1的中点，则＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)(＋＋)，设P，M，N分别是BD1，CA1，DB1的中点，则＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋＋)＝＋eq\f(1,2)(－＋＋)＝eq\f(1,2)(＋＋1)，同理可证：＝eq\f(1,2)(＋＋)，＝eq\f(1,2)(＋＋)．由此可知，O，P，M，N四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处相互平分．[一点通]用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝2.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)，又＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝，∴＋＋＝2.6．如图，M、N分别是四面体O­ABC的边OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点，用向量、、表示和.解：＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3).＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6).1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间随意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间随意三个不共面的向量a、b、c皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有多数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面对量作为基底．3．由于0可视为与随意一个非零向量共线，与随意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)]1．空间中的四个向量a，b，c，d最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O为▱ABCD所在平面外随意一点，E为OC的中点，若＝eq\f(1,2)＋x＋y，则x＝________，y＝________.解析：∵＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)(＋)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(－)－＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(3,2)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).答案：eq\f(1,2)－eq\f(3,2)3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC、OB，M、N分别是OA、BC的中点，点G是MN的中点，取{，，}为基底，则＝________.解析：如图，＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(＋＋)．答案：eq\f(1,4)(＋＋)4．平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y－3z，则x＋y＋z＝________.解析：∵＝＋＋＝x＋2y－3z，∴x＝1,2y＝1，－3z＝1，即x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝－eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).答案：eq\f(7,6)5．设a、b、c是三个不共面对量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：依据基底的定义，∵a，b，c不共面，∴a＋c，b＋c，a＋b－c都能与a，b构成基底．答案：③④⑤6．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，求α、β、γ的值．解：由题意a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必定存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝αa＋βb＋γc，∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))7.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC和A1D的一个三等分点，且eq\f(AM,MC)＝eq\f(1,2)，eq\f(A1N,ND)＝2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.解：如图所示，连接AN，则＝＋由ABCD是平行四边形，可知＝＋＝a＋b，＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)(a＋b)．＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(b－c)，＝＋＝－＝b－eq\f(1,3)(b－c)＝eq\f