期权金融工程

第四章期权金融工程本章主要内容期权与期权市场的基本概念期权工具的复制与合成期权价格分析期权的定价期权的运用与交易策略期权的风险管理2025/5/26Copyright©PeiZhang,20132第一节期权与期权市场一、期权的基本概念期权（option）是赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格（简称执行价格，exerciseprice或strikeprice）购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产，underlyingassets）的权利的合约。期权的购买者必须向期权的卖出者支付一笔费用（期权费、期权价格）后才能获得上述权利。2025/5/26Copyright©PeiZhang,20133（一）期权的买方与买方期权的买方向卖方支付期权费获得权利，卖方收到期权费只有义务没有权利。（二）欧式期权与美式期权欧式期权的持有者只有在到期日才能执行期权（即行使买进或卖出标的资产的权利），而美式期权的持有者可以在期权到期前的任何时间执行期权。2025/5/26Copyright©PeiZhang,20134（三）看涨期权与看跌期权看涨期权（calloption）是赋予期权的购买者买入标的资产的权利；看跌期权（putoption）是赋予期权的购买者卖出标的资产的权利。例：某投资者购买了一份基于100股e-Bay股票的欧式看涨期权，期限为4个月，执行价格为100美元，当前股票价格为98美元，期权费为1股5美元。2025/5/26Copyright©PeiZhang,20135问题的分析：如果股票价格在到期日低于100美元，期权的买方是否会行使权利？（答案：否）如果股票价格在到期日高于100美元（例如115美元），期权的买方是否会行使权利？（答案：是）2025/5/26Copyright©PeiZhang,20136801007012011090130收益（美元）-510200最终股票价格（美元）购买1股eBay股票的欧式看涨期权的损益图（期权价格=5美元，执行价格=100美元）2025/5/26Copyright©PeiZhang,20137例：某投资者购买了一份基于100股IBM股票的欧式看跌期权，执行价格为70美元，当前股票价格为65美元，距离到期日有3个月，期权价格为7美元如果股票价格在到期日低于70美元，期权的买方是否会行使权利？（答案：是）如果股票价格在到期日高于70美元期权的买方是否会行使权利？（答案：否）2025/5/26Copyright©PeiZhang,20138507040908060100收益（美元）-710200最终股票价格（美元）购买1股IBM股票的欧式看跌期权的损益图（期权价格=5美元，执行价格=70美元）2025/5/26Copyright©PeiZhang,20139期权的四种头寸2025/5/26Copyright©PeiZhang,201310（四）期权的标的资产1、实物资产2、金融资产（1）股票期权（2）股票价格指数期权（3）期货期权（4）利率期权（5）货币期权（外汇期权）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201311二、期权市场（一）期权的产生与发展17世纪：郁金香狂热18、19世纪：美国和欧洲农产品期权交易19世纪：股票期权在美国诞生2025/5/26Copyright©PeiZhang,201312由场外市场向场内市场发展1973年4月26日：标准化期权合约第一次出现期权定价的理论突破期权交易限制的放松1982年：长期国债期货期权1983年1月：S&P500股票指数期权1984年至1986年：大豆、玉米、小麦期货期权2025/5/26Copyright©PeiZhang,201313（二）期权交易所（一）专门的期权交易所芝加哥期权交易所（CBOE）（约占交易总量的1/3）国际证券交易所（ISE）期权市场（约占30%）（二）依托股票交易所进行期权交易费城股票交易所（PHLX）（13%）美国股票交易所（AMEX）（10%）（三）依托期货交易所进行COBT、CMEICE：洲际交易所KCBT：堪萨斯商品交易所MGE：明尼苏达谷物交易所NYME：纽约商品交易所2025/5/26Copyright©PeiZhang,201314（三）期权市场发展的趋势“量身定做”——场外市场的竞争优势奇异期权交易所交易产品的灵活化交易所之间的合作加强2025/5/26Copyright©PeiZhang,201315各交易所的主要交易品种CBOE股票期权、期货期权、国债期权等ISE股票期权、期货期权、外汇期权等PHLX股票、股指、外汇、期货期权、商品期权AMEX股票期权、股指期权CBOT农产品、股指期货期权CME农产品、股指、外汇期权期权ICE同上KCBT农产品、股指期权期权MGE农产品期货期权NYME能源期货期权2025/5/26Copyright©PeiZhang,201316三、期权市场的交易机制2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013172025/5/26Copyright©PeiZhang,201318（二）标准化的期权合约1、交易单位（合约规模）例如：股票期权（100股股票）、股票指数期权（标的指数的100倍）、外汇期权（31250英镑、62500欧元）2、执行价格中心执行价格与级距（intervals）2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013193、期权时间（1）到期月：3个月循环规则4个到期月（2）到期日（例如：CBOE股票期权的到期日为到期月第三个星期五之后紧随的那个星期六美国东部时间下午5:00）（3）最后交易日：与到期日紧密相连，是交易者可以进行交易的最后日期（4）执行日：期权买方可以执行期权的日期2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013204、红利和股票分割派发现金红利对期权不产生影响进行股票分割（配股）对期权产生影响：m股分割为n股，执行价格将为原来执行价格的m/n2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013215、交割（1）平仓：与期货一样（2）交割：买方选择执行或不执行（期权交割的比例比期货高得多）（3）交割方式现货期权：对标的资产进行实际交收指数期权：按执行价格与市场价格之差以现金进行结算期货期权：买方获得期货头寸+执行价格与期货价格之间的差额2025/5/26Copyright©PeiZhang,201322（三）期权的交易制度1、头寸限额（positionlimit）每个投资者所能持有的期权头寸在最大限额2、执行限额（exerciselimit）一个期权买方在规定时间内所能执行的期权合约的最大限额2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013233、买卖指令（1）买入建仓（2）卖出建仓（3）买入平仓（4）卖出平仓2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013244、清算制度与保证金制度（1）期权交易的清算期权交易所内完成的期权交易必须通过期权清算公司（OCC）进行清算和交割，OCC由会员组成。会员必须满足最低资本额度的要求，缴纳特种基金；若有任一会员无法提供需要的资金，使用特种基金进行支付。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013252025/5/26Copyright©PeiZhang,201326投资者A投资者B经纪公司甲经纪公司乙代理清算公司（OCC会员）代理清算公司（OCC会员）OCC（2）期权执行的实施当期权需要执行时，投资者要通知经纪人，经纪人通知负责通知OCC清算会员，会员向OCC发出执行指令，OCC随机选择持有相同期权空头的会员，会员选择某个特定出售期权的投资者。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201327（3）保证金（margin）制度期权空方在开始期权交易时要求交纳初始保证金，并规定维持保证金水平，在价格出现不利变化时，投资者需要追加保证金。清算所向会员收取，会员向经纪公司收取，经纪公司向投资者收取。1）有担保的期权（100%保证金要求）2）无担保的期权（A、B较大的一个值）A、出售期权的期权费加上期权标的资产价值的20%减去期权处于虚值状态的数额B、出售期权的期权费加上标的资产价值的10%2025/5/26Copyright©PeiZhang,201328假设某个股票看涨期权的相关参数是：股票市价为15美元，执行价格为20美元，期权费为1美元，则按照A、B公式计算出来的结果分别为：A：-100美元B：250美元则期权的卖者要向经纪公司缴纳150美元初始保证金（100美元期权费可以冲抵保证金）2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013295、期权的报价2025/5/26Copyright©PeiZhang,201330四、权证（Warrants)权证是发行人（一般是上市公司或投资银行）与持有者之间的一种契约，持有者有权在约定的时间按约定的价格向发行人购买或卖出一定数量的标的资产（通常是股票）认购权证与认沽权证股本权证与备兑权证2025/5/26Copyright©PeiZhang,201331股本权证与股票期权的区别：发行环节数量是否有限是否影响总股本2025/5/26Copyright©PeiZhang,201332期权工具的复制与合成2025/5/26Copyright©PeiZhang,201333CK例子：假设现在股票价格为20元，3个月后股票价格会上涨到22元或者18元，基于该股票的欧式看涨期权的执行价格为21元，3个月连续复利无风险利率为12%，如何对上述期权的现金流进行复制？答案：1份期权多头=0.25只股票+4.367元借款0.25只股票+1份期权空头=4.367元贷款（无风险投资）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201334第二节期权价格分析期权的损益图期权价值的构成期权价格的影响因素期权价格的性质2025/5/26Copyright©PeiZhang,201335一、期权的损益图（一）期权到期的损益图（不考虑期权费，执行价格为40元的欧式股票看涨期权买方）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201336204060801000204060期权价值股票价格不考虑期权费，执行价格为40元的欧式股票看跌期权买方：2025/5/26Copyright©PeiZhang,201337204060801000204060期权价值股票价格（二）期权到期回报公式期权类型到期回报公式公式分析看涨期权（买方）若到期价格高于执行价格，买方执行期权获得收益，否则不执行，回报为零看涨期权（卖方）若买方执行期权获得收益，卖方损失，若买方不执行，卖方收益为零看跌期权（买方）若到期价格低于执行价格，买方执行期权获得收益，否则不执行，回报为零看跌期权（卖方）若买方执行期权获得收益，卖方损失，若买方不执行，卖方收益为零2025/5/26Copyright©PeiZhang,201338（三）期权未到期的损益图以欧式看涨期权为例（不考虑期权费）：期权价值标的资产价格执行价格期权到期价值线期权未到期价值线S45度角2025/5/2639Copyright©PeiZhang,2013二、期权价值的构成（一）内在价值期权的内在价值是0与期权买方行使期权时获得收益的贴现值的较大值。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201340期权的内在价值头寸内在价值看涨期权欧式无收益有收益美式无收益有收益看跌期权欧式无收益有收益美式无收益有收益2025/5/26Copyright©PeiZhang,201341（二）实值期权、平价期权与虚值期权1、实值期权（inthemoney）2、虚值期权（outofthemoney）3、平价期权（atthemoney）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201342（三）期权的时间价值指期权尚未到期时，标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。例如：2007年8月31日，1份以通用电气股票为标的资产执行价格为40美元、到期日为9月22日的美式看跌期权价格为0.35元，8月31日通用电气股票价格为38.5元距离期权到期时间越长，标的资产价格的波动率越大，期权时间价值越大。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201343（四）期权时间价值与内在价值的关系期权时间价值受内在价值的影响，在平价点时间价值达到最大，随期权实值程度和虚值程度增加而递减。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201344三、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格对于看涨期权，标的资产市场价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权，标的资产市场价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201345（二）期权的有效期对于美式期权而言，有效期越长，期权价格越高。一般情况下（剔除标的资产支付大量收益的情形），有效期越长，期权的价格也越高。原因1：风险原因2：保险2025/5/2646Copyright©PeiZhang,2013（三）标的资产价格的波动率波动率越大，期权到期时，标的资产市场价格涨跌达到实值的可能性就越大。无论是看涨期权还是看跌期权，时间价值以及整个期权价格都随着标的资产价格波动率的增大而增大，随着标的资产价格波动率的减小而降低。2025/5/2647Copyright©PeiZhang,2013（四）无风险利率利率的变动对于看涨期权有正向的影响，对看跌期权价格有反向的影响原因：利率越高，资产的预期收益率也较高，于是未来预期价格也较高。同时，由于贴现率较高，这两种效应会降低看跌期权的价值。但对于看涨期权来说，前者使其上升，后者使其下降，前者效应大于后者，故看涨期权价格较高。2025/5/2648Copyright©PeiZhang,2013（五）标的资产的收益在期权有效期内，标的资产产生现金收益将使看涨期权价格下降，而是看跌期权价格上升。2025/5/2649Copyright©PeiZhang,2013影响期权价格的主要因素

（汇总）变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产市场价格+-+-期权协议价格-+-+有效期？？++标的资产价格波动率++++无风险利率+-+-红利-+-+2025/5/2650Copyright©PeiZhang,2013四、期权价格的性质（一）期权价格的上限1、看涨期权价格的上限在任何情况下，看涨期权的价格不会超过其标的资产的价格。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013512、看跌期权价格的上限（1）美式看跌期权的价格不会高于其执行价格（2）欧式看跌期权的价格不会高于执行价格的现值2025/5/26Copyright©PeiZhang,201352（二）期权价格的下限（标的资产无收益）1、欧式看涨期权的下限考虑以下两个组合：组合A：一份欧式期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产结论：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013532、欧式看跌期权价格的下限考虑以下两个组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金。结论：2025/5/26Copyright©PeiZhang,201354期权价格上下限总结上限下限看涨期权欧式无收益有收益美式无收益有收益看跌期权欧式无收益有收益美式无收益有收益2025/5/26Copyright©PeiZhang,201355（三）美式期权是否会提前执行1、标的资产无收益的美式期权结论：提前行使标的资产无收益的美式看涨期权永远不会是最佳选择提前行使标的资产无收益的美式看跌期权有时可能是最优的2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013562、标的资产有收益的美式期权在标的资产有收益的情况下，无论是看涨期权还是看跌期权，美式期权都有可能提前执行2025/5/26Copyright©PeiZhang,201357（四）看涨、看跌期权平价公式考虑以下两个组合：组合A：一个欧式看涨期权加上数量为的现金；组合C：一个欧式看跌期权加上一只股票以上两个组合在到期时的价值均为：组合A和组合C在今天必须具有相同的价值，这意味着：2025/5/2658Copyright©PeiZhang,2013第三节期权的定价期权定价是围绕着期权的买方为了获得权利（而不是义务）应该向期权的卖方事先支付多少费用而展开的。也可以理解为权利的价值或者期权的价值。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201359期权定价的基本思路之一描述标的资产价格变化（几何布朗运动）描述期权价格的变化（Ito引理）构造期权的复制组合（金融工程基本思想）得到期权定价方程（偏微分方程）解偏微分方程（数学技巧）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201360一、标的资产价格变化的描述

（以股票价格为例）离散情形：二叉树模型（BinomialTree）连续情形：几何布朗运动（

GeometricBrownianMotion）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201361（一）二叉树模型基本思想：用树图描述股票价格在期权有效期内可能遵循的路径。假定股票价格服从随机游走（randomwalk)，价格上升和下降有一定的概率。在二叉树的步长足够小时，离散情形转换为连续情形。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013621、单步二叉树模型例：假设一只股票当前价格为20元，3个月后的价格可能为22元或18元，我们对3个月后以21元执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201363股票价格变动图2025/5/26Copyright©PeiZhang,201364···股票价格=20元期权价格=？股票价格=18元期权价格=0元股票价格=22元期权价格=1元思路1：未来现金流折现用期权在到期日时的价值进行贴现→不知道到期日两种情形的概率分布，也不知道贴现率。思路2：复制的思想（积木分析法）用其他资产组合复制期权的现金流，通过计算资产组合的价值计算期权的价值。什么样的资产可以复制期权的现金流？2025/5/2665Copyright©PeiZhang,2013考虑一个由x只股票的长头寸和一份看涨期权短头寸构成的交易组合。当股票价格由20变为22时，证券组合的整体价值为22

x-1；当股票价格由20变为18时，组合价值为18

x。让组合在以上两种情形相等时，该组合不具有任何风险，这意味着：22

x-1=18

x即：x=0.25无风险交易组合为：多头：0.25只股票空头：1份期权2025/5/2666Copyright©PeiZhang,2013无论股票价格上涨到22元还是下跌到18元，组合的价格相等（为4.5元）。在无套利的情况下，无风险证券组合的收益率必定为无风险收益率，假设无风险收益率为每年12%，所以组合的现值一定是4.5元的现值，即：2025/5/26Copyright©PeiZhang,201367于是：2025/5/26Copyright©PeiZhang,201368结论的一般化考虑一个价格为S0的股票，基本该股票的某个期权当前价格为f，期权到期日为T，在期权到期日，股票价格或者向上运动到S0u（u>1），或者向下运动到S0d（d<1），对应的期权价值为fu和fd，求期权在期权的价值。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201369其中：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013702、两步二叉树2025/5/26Copyright©PeiZhang,201371··股票价格=20元期权价格=？股票价格=19.8元期权价格=0元股票价格=24.2元期权价格=3.2元···股票价格=16.2元期权价格=0元股票价格=22元期权价格=？元股票价格=18元期权价格=？元·两步二叉树的一般化2025/5/26Copyright©PeiZhang,201372美式看跌期权定价2025/5/2673Copyright©PeiZhang,20133、多步二叉树2025/5/2674Copyright©PeiZhang,2013（二）几何布朗运动股票价格连续变动过程的描述（用什么样的随机过程进行描述？）→几何布朗运动股票衍生产品价格变动过程的描述（伊藤引理）通过无套利关系构造偏微分方程解偏微分方程得到期权定价公式2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013751、马尔科夫过程（MarkovProcess）安德烈·安德列耶维奇·马尔科夫（1856－1922）。中学时代马尔科夫被送到彼得堡第五中学。1874年，马尔科夫考入了彼得堡大学数学系，1878年，马尔科夫以优异成绩毕业并留校任教。出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫开始考虑相依随机变量序列的规律，1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其中某个变量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一个变量来决定，而与它更前面的那些变量无关。这就是被后人称作马尔科夫链的著名概率模型。2025/5/2676Copyright©PeiZhang,2013用一个通俗的比喻来形容，一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间的蹿动就构成一个马尔科夫链。因为这只白鼠已没有了记忆，瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所在位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关。用前苏联数学家辛钦（1894－1959）的话来说，就是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度，使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知“现在”的条件下，“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为马尔科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做马尔科夫过程，其最原始的模型就是马尔科夫链。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201377在他的工作之前或同时，一些马尔科夫链或更复杂的随机过程的例子已出现在某些人的研究中，只不过这些人没有自觉地认识到这类模型的普遍意义或用精确的数学语言表述出来罢了。例如苏格兰植物学家布朗(R.Brown,1773－1858)于1827年发现的悬浮微粒的无规则运动、英格兰遗传学家高尔顿（F.Galton,1822－1911)于1889年提出的家族遗传规律、荷兰物理学家埃伦费斯特(P.Ehrenfest,1880－1933)于1907年关于容器中分子扩散的实验，以及传染病感染的人数，谣言的传播，原子核中自由电子的跃迁，人口增长的过程等等，都可用马尔科夫链或过程来描述。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201378他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：这是长诗开头的两句，意为：“我不想取悦骄狂的人生，只希望博得朋友的欣赏。”把结果与按照俄语拼音规则计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201379只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量的历史值以及从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。例如：IBM公司的股票当前价格为100美元，如果股票价格服从马尔科夫过程，那么以前的股票价格都不会影响我们对将来的预测，对于预测唯一有用的信息是当前价格100美元。弱式有效市场（股票价格包含过去价格的所有信息）2025/5/26Copyright©PeiZhang,201380举例考虑一个遵循马尔科夫过程的变量，该变量当前的价值为10，1年内变量价值的变化服从概率分布，那么两年内变量价值变化服从什么样的概率分布？2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013812、维纳过程（WienerProcess）若一个随机过程Z（t）满足Z是独立增量过程对于任意S，t，

是关于t的连续函数

则称Z（t）为维纳过程这个过程在物理学中描述某个粒子受到大量小分子碰撞的运动，因此被称为布朗运动（BrownianMotion）。2025/5/2682Copyright©PeiZhang,2013维纳的全名是诺伯特·维纳(NorbertWiener，1894-1964)是美国数学家，控制论的创始人。在其50年的科学生涯中，先后涉足哲学、数学、物理学和工程学，最后转向生物学，在各个领域中都取得了丰硕成果，称得上是恩格斯颂扬过的、本世纪多才多艺和学识渊博的科学巨人。他一生发表论文240多篇，著作14本。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201383维纳趣事在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄。维纳不愧为数学神童，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。这意味着全体数字都向我俯首称臣，预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业。”2025/5/26Copyright©PeiZhang,201384其实这个问题不难解答，但是需要一点数字“灵感”。不难发现，21的立方是四位数，而22的立方已经是五位数了，所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理，18的四次方是六位数，而17的四次方则是五位数了，所以维纳的年龄至少是18岁。这样，维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201385搬家趣事一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙。第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了。白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家。晚上维纳习惯性地回到旧居。他很吃惊，家里没人。从窗子望进去，家具也不见了。掏出钥匙开门，发现根本对不上齿。于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步。突然发现街上跑来一小女孩。维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运。我找不到家了，我的钥匙插不进去，请帮我找个锁匠吧！。”小女孩说道：“爸爸，没错。妈妈让我来找你又找对了。”2025/5/26Copyright©PeiZhang,201386维纳过程的两个性质性质1：变量与小时间区间之间满足：其中，性质2：对于任何两个不同的时间间隔，、相互之间独立。（马尔科夫性质）

2025/5/2687Copyright©PeiZhang,2013考虑以一段相对较长的时间段T内变量Z的变化：，将这一变化看成N个长度为的小时间段内变量Z的变化总和，即：

因此：极限形式的表达:2025/5/2688Copyright©PeiZhang,2013例12.1假设一个遵循维纳过程的变量z的初值为25，以年为单位计。在第1年末，变量值服从均值为25、标准差为1.0的正态分布；第5年末，服从均值为25、标准差为的正态分布。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201389

取值不同对于维纳过程的影响2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013903、广义维纳过程变量x的广义维纳过程定义如下：其中，a、b为常数a：漂移率

：方差率2025/5/2691Copyright©PeiZhang,2013例12.2某公司现金头寸遵循广义维纳过程，每年漂移为20，每年方差率为900。最初现金头寸为50。第1年末现金头寸将具有正态分布，均值为70，标准差为，6个月末具有正态分布，均值为60，标准差为30=21.21。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201392广义维纳过程（a=0.3和b=1.5）2025/5/2693Copyright©PeiZhang,20134、伊藤过程（Itoprocess）一种更为广义的维纳过程：其中，a，b均为变量x和时间t的函数。2025/5/2694Copyright©PeiZhang,2013伊藤清（1915年9月7日－2008年11月10日），日本数学家，日本学士院院士。为解释布朗运动等伴随偶然性的自然现象，伊藤清提出了伊藤公式，这成为随机分析这个数学新分支的基础定理。伊藤的成果于20世纪80年代以后在金融领域得到广泛应用，他因此被称为“华尔街最有名的日本人”。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013955、股票价格运动过程的描述假设1：期望收益率（即期望漂移率除以股票价格）为常数。因此有：假设2：在一个较短的时间后，股票价格的百分比收益的波动率为常数：几何布朗运动2025/5/2696Copyright©PeiZhang,2013例：考虑某无股息股票，其波动率为每年30%，连续复利预期收益率为15%，

。股票价格过程为：

用增量表示即为：2025/5/2697Copyright©PeiZhang,2013蒙特卡洛模拟法2025/5/2698Copyright©PeiZhang,2013二、描述期权价格的变化任何一种金融衍生品的价格都是标的资产价格和时间的函数。2025/5/26Copyright©PeiZhang,201399伊藤引理假设随机变量x的值遵循Ito过程：股票期权的价格满足：则：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013100股票价格的分布性质假设股票价格遵循几何布朗运动，即：求服从的分布？（lnS是股票的连续复利收益率）2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013101如果股票价格服从几何布朗运动，则有：也就是说：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013102几何布朗运动下股票价格的概率分布设A股票的当前价格为50元，预期收益率为每年18%，波动率为每年20%，假设该股票价格遵循几何布朗运动且股票在6个月内不付红利，请问该股票6个月后的价格的概率分布如何？2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013103三、构造期权的复制组合

（Black-Scholes-Merton偏微分方程的推导）基本假设股票价格服从几何布朗运动可以卖空证券无交易费用、税收，证券可无限细分期权有效期内股票不支付股息不存在无风险套利机会证券交易连续进行短期无风险利率为常数，对所有期限都是相同的2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013104Black-Scholes-Merton偏微分方程的推导假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此有或者：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013105G是依赖于S的期权的价格，则G是S和t的函数，由Ito引理：或者：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013106为了消除不确定性，我们构建一个包括一单位期权空头和单位标的证券多头的组合，令代表该投资组合的价值，则：在时间后，该投资组合的价值变化为

2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013107将与的表达式分别代入上式当中，由于上式中不含随机项，该组合在一个小的时间段内的变化是确定的，在无套利定价的原则下，这个小时段的瞬时收益率一定等于无风险收益率：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013108将和代入上式得：化简得：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013109偏微分方程的求解参考文献：Churchill.R.V.FourierSeriesandBoundaryValueProblems,2ndedition.NewYork:McGraw-Hill,19632025/5/26Copyright©PeiZhang,2013110欧式看涨期权定价公式2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013111其中：N（·）为标准正态分布变量的累积概率分布函数例：无收益资产的欧式期权定价假设不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%，该股票的年波动率为10%，求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013112无收益资产的期权定价公式无收益资产的美式看涨期权定价无收益资产欧式看跌期权的定价无收益资产美式看跌期权的定价2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013113有收益资产的期权定价公式有收益资产的欧式期权定价公式（1）已知收益现值I：用S-I代替S（2）已知收益率q：用代替S（以上结论对于股指期权、外汇期权、期货期权定价非常有用）有收益美式期权的定价（数值方法）2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013114四、B-S-M期权定价公式的参数估计（一）无风险利率的估计无风险利率的选择和期限的确定（二）资产波动率的估计1、历史波动率（1）用统计方法计算对数收益率的标准差（2）运用GARCH模型进行估计2、隐含波动率2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013115天数0100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.001410396.750.9872-0.02180.0002344100.501.03880.03800.0000065101.001.00500.00500.0003826103.251.02230.02200.0002057105.001.01690.01680.0005828102.750.9786-0.02170.0000009103.001.00240.00240.00005310102.500.9951-0.00490.004294总计0.0247样本均值：0.0247/10=0.000247，样本方差：0.004294/9=0.000477，样本标准差（天）：0.0218432025/5/26Copyright©PeiZhang,2013116第四节期权的运用与交易策略期权是金融市场上变化最丰富、结构最精妙、运用最广泛的工具，本节将介绍期权工具的运用并介绍多种常见的期权交易策略。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013117一、期权交易头寸的运用（一）运用期权进行静态套期保值静态套期保值是指一次交易之后直至到期都不再调整的套期保值交易。具体而言，通过买入看涨期权多头保护标的资产价格上升的风险，或是通过买入看跌期权多头保护标的资产价格下跌的风险。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013118看跌期权的静态套期保值假设投资者A手中持有GE股票，且非常看好，但发生在2007年中的美国次级房贷危机使得市场具有较大的不确定性，A认为这次危机可能波及股票市场，GE股价会受到冲击。A既不想放弃未来GE股票可能带来的收益，同时又担心市场可能的剧烈波动会导致股价下挫，A将如何进行选择？2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013119假设A决定购入在CBOE交易的GE看跌期权，其价格为1.76美元，到期日为2007年9月22日，执行价格为40美元，GE股票价格为38.5美元。如果GE股票确实受到市场冲击下跌，A执行期权获得最低回报为40美元，如果GE股票一路走高，A不执行期权，只是成本比原先购入价上升了1.76美元。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013120（二）运用期权进行杠杆投资美国中部时间2007年9月14日收盘时，GE股票价格为40.35元，GE看涨期权收盘价格为0.67美元，其到期日为2007年9月22日，执行价格为40美元。假设投资者B准备了以下两种投资途径：1、直接以40.35美元买入1000股GE股票，总成本40350美元2、以0.67美元买入602份GE股票看涨期权（每份期权拥有购入100股GE股票的权利），总成本40334美元。假设2007年9月22日GE股票价格涨至45美元（或跌至35美元），比较两种投资途径的结果？2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013121两种途径结果比较1、股票投资：2、期权投资：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013122（三）其他运用假设2007年8月31日，有投资者C长期看好GE公司，但认为受市场整体波动冲击，GE股票短期有很大可能向下调整。C可以采取哪些操作方法？2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013123（1）2007年8月31日以38.5美元的价格买入1000股GE股票，同时卖出10份9月22日到期、执行价为40美元的GE看涨期权，期权费收入为350美元。（2）2007年8月31日卖出执行价格为37.5美元、9月22日到期的GE看跌期权，其价格为1.75美元，期权费收入1750美元。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013124

二、期权的交易策略主要讨论期权组合所产生的盈利模式。包括期权与标的资产组合，两种或更多种期权组合时所产生的盈利模式。该部分是金融工程积木分析法最好的体现。2025/5/26125Copyright©PeiZhang,2013（一）单一期权与股票的策略保护性看涨期权2025/5/26126Copyright©PeiZhang,2013保护性看跌期权2025/5/26127Copyright©PeiZhang,2013（二）差价策略将具有相同类型的两个或多个期权组合在一起的交易策略。1、牛市差价（bullspread）买入一个具有某一确定执行价格的股票看涨期权和卖出一个同一股票的，但具较高执行价格的股票看涨期权组合而成，两个期权的期限相同。2025/5/26128Copyright©PeiZhang,2013由看涨期权所构造的牛市差价的收益股票价格范围看涨期权长头寸的收益看涨期权短头寸的收益整体收益0000特点：限制了投资者的收益但同时控制了损失的风险2025/5/26129Copyright©PeiZhang,20132、熊市差价（bearspread）买入具有某一执行价格的看跌期权同时卖出具有另一执行价格的看跌期权。2025/5/26130Copyright©PeiZhang,20133、盒式价差（boxspread）由执行价格为K1和K2的看涨期权构成的牛市价差与一个具有相同执行价格所构成的熊市差价的组合。盒式价差的收益为K2-K12025/5/26131Copyright©PeiZhang,20134、蝶式价差（butterflyspread）买入一个具有较低执行价格K1的看涨期权，买入一个具有较高执行价格K3的看涨期权，卖出两个具有执行价格为K2的看涨期权，其中K2为K1及K3的中间值。2025/5/26132Copyright©PeiZhang,20135、日历价差（calendarspread）卖出一个具有某一执行价格期限的看涨期权，买入一个具有同样执行价格，但具有较长期限看涨期权的长头寸。2025/5/26133Copyright©PeiZhang,2013中性日历价差（neutralcalendarspread）牛市日历价差（bullishcalendarspread）熊市日历价差（bearishcalendarspread）6、对角差价由两个执行价格与到期日均不相同的看涨期权构成。2025/5/26134Copyright©PeiZhang,2013（三）组合策略包括对于同一种股票上看涨期权与看跌期权的交易策略。1、跨式组合买入具有同样执行价格期限的一个看涨期权和看跌期权2025/5/26135Copyright©PeiZhang,20132、序列债券与带式债券序列债券：具有相同执行价格和相同期限的一个看涨期权和两个看跌期权的组合。带式组合：具有相同执行价格和相同期限的两个看涨期权和一个看跌期权的组合。2025/5/26136Copyright©PeiZhang,20133、异价跨式组合买入具有相同期限但具有不同执行价格的看跌期权及看涨期权。2025/5/26137Copyright©PeiZhang,2013第五节期权的风险管理问题背景：金融机构在场外市场向客户卖出期权后要对自己的头寸暴露进行对冲，由于场外市场的个性化需求，在交易所内找不到同样的期权，对冲会出现困难。这一部分内容主要讨论解决这个问题的几种方式。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013138案例一家金融机构卖出了100000份无股息股票的欧式看涨期权，收入为300000美元。假设股票价格为49美元，期权执行价格为50美元，无风险利率为每年5%，股票价格的波动率为20%，期权期限为20周（0.3846年），股票收益率期望值为每年13%。由B-S公式算出期权价格大约为240000美元，溢价60000美元。如何进行风险对冲？2025/5/26139Copyright©PeiZhang,2013方案1：裸露头寸策略不采取任何对冲措施。结果：（1）若20周后，股票价格低于50美元，净利润为300000美元。（2）如果期权被执行，例如，股票价格为60美元，期权会给金融机构带来1000000美元的费用，远远大于300000美元的收入。2025/5/26140Copyright©PeiZhang,2013方案2带保头寸策略金融机构买入100000只股票进行对冲。结果（1）如果股票价格降到40美元，金融机构将损失900000美元，远远大于300000美元的收入（2）如果股票价格大于50美元，期权被行使，这一策略会很好2025/5/26141Copyright©PeiZhang,2013方案3止损交易策略在股票价格刚刚高于K的时候马上买入股票，而在股票价格刚刚低于K时马上卖出股票，即在股票价格刚刚低于K的时候采用裸露头寸策略，而在股票价格刚刚高于K时采用带保头寸策略。2025/5/26142Copyright©PeiZhang,2013止损交易策略示意图2025/5/26143Copyright©PeiZhang,2013止损交易策略分析（1）这一交易策略的初始费用在当S0>K时为S0，否则为0，那么，这一交易策略的净支出为max（S0-K，0）。从理论上看，这一交易策略的对冲费用小于用B-S公式计算得到的期权价格，因此，投资者通过卖出期权并以这种方式对冲是可以获得无风险盈利的。2025/5/26144Copyright©PeiZhang,2013止损交易策略分析（2）以上分析存在缺陷：股票的买入和卖出不可能总是发生在价格刚好等于K的时刻（如果市场是有效的，对冲者并不知道股票价格会变得高于K还是低于K）。

股票以的价格买入，以

的价格卖出，每一笔的交易费用

为，如果增大观测频率来使

更小，那么交易会更加频繁，交

易费用的降低会被交易频率的增

加所抵消。

2025/5/26145Copyright©PeiZhang,2013止损交易策略的蒙特卡洛模拟对冲表现以期权对冲费用的标准差与期权价格的比率来衡量。（每一个结果都是基于1000个股票价格路径抽样来计算，标准误差大约为2%）2025/5/26146Copyright©PeiZhang,2013方案4使用期权的敏感性指标一、Delta与期权的风险管理（一）Delta的定义期权价格变动与其标的资产价格变动的比率，即：看涨期权：

看跌期权：2025/5/26147Copyright©PeiZhang,20132025/5/26Copyright©PeiZhang,2013148Delta的变化2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013149证券组合的Delta证券组合的Delta由证券组合内各个单一期权的Delta来计算。假设一个金融机构持有以下3个关于某标的股票的头寸：100000份看涨期权的长头寸，每份期权的Delta为0.533200000份看涨期权的短头寸，每份期权的Delta为0.46850000份看跌期权的短头寸，每份期权的Delta为-0.508整个证券组合的Delta为：2025/5/26150Copyright©PeiZhang,2013（二）Delta中性与风险管理1、Delta中性的概念证券组合的Delta为零称其处于Delta中性状态。当证券组合处于Delta中性状态时，组合的价值不受标的资产价格波动的影响。但Delta中性状态只能维持很短的时间，为了保持Delta中性需要不断调整保值资产头寸，这种过程成为再平衡（rebalancing），这种保值方法成为动态套期保值。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013151期权的Delta中性风险管理问题：某金融机构在OTC市场出售了基于100000股不付红利股票的欧式看涨期权，收入为300000美元。该股票市场价格为49美元，执行价格为50美元，无风险连续复利年利率为5%，股价波动率为20%，期权距离到期日为20周，该机构面临风险管理的问题。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013152期权的Delta动态对冲模拟

（实值期权，总成本263300美元）2025/5/26153Copyright©PeiZhang,2013期权的Delta动态对冲模拟

（实值期权，总成本257800美元2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013154二、Theta与期权的风险管理（一）Theta的定义与计算期权价格对时间变化的敏感度，即其他条件不变的条件下，期权价格与时间变化的比率。对于无收益资产的看涨期权而言：2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013155（二）看涨期权的Theta与标的资产关系的曲线2025/5/26156Copyright©PeiZhang,2013三、Gamma与期权的风险管理（一）期权Gamma值的计算Gamma是指交易组合Delta的变化与标的资产价格变化的比率，是交易组合关于标的资产的二阶偏导数：从几何图形上，它反映了期权价格与标的资产价格关系曲线的凸度。2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013157非线性引入的对冲误差2025/5/26158Copyright©PeiZhang,2013（二）期权Gamma值的特征分析2025/5/26Copyright©PeiZhang,2013159（三）证券组合的Gamma值现货资产、远期、期货的Gamma值均为零，只有期权有