2025年国际信息学奥林匹克竞赛编程挑战：算法竞赛中的递归问题解析

2025年国际信息学奥林匹克竞赛编程挑战：算法竞赛中的递归问题解析一、选择题1.递归函数的基本特征是什么？（1）递归函数必须有一个明确的终止条件。（2）递归函数必须执行某种操作，然后递归调用自身。（3）递归函数的调用栈深度有限。（4）递归函数的参数在递归调用过程中不会改变。A.（1）和（2）B.（1）和（3）C.（1）、（2）和（3）D.全部2.以下哪个函数不是递归函数？（1）函数f(n)=f(n-1)+n（2）函数f(n)=n!(n的阶乘)（3）函数f(n)=1（4）函数f(n)=n*f(n-1)A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）二、填空题1.递归函数的调用栈深度有限，这是因为计算机的内存空间是______的。2.递归函数的终止条件通常通过______来实现。3.在递归函数中，如果递归深度过大，会导致______。4.递归函数的时间复杂度通常是______。三、编程题1.编写一个递归函数，计算斐波那契数列的第n项（n为非负整数）。2.编写一个递归函数，判断一个整数是否为素数。3.编写一个递归函数，计算一个整数数组中所有元素的和。四、简答题要求：请根据所学知识，简要解释递归函数的调用过程，并说明递归函数与迭代函数的主要区别。五、应用题要求：给定一个整数数组，编写一个递归函数，找出数组中的最大值和最小值，并返回一个包含这两个值的数组。六、分析题要求：分析以下代码片段，说明其功能，并指出代码中可能存在的问题。```pythondeffactorial(n):ifn==0:return1else:returnn*factorial(n-1)```本次试卷答案如下：一、选择题1.A.（1）和（2）解析：递归函数的基本特征包括必须有明确的终止条件来避免无限递归，以及必须执行某种操作然后递归调用自身。2.C.（3）解析：函数f(n)=1是一个简单的常数函数，不涉及递归调用，因此不是递归函数。二、填空题1.有限的解析：递归函数的调用栈深度有限，因为计算机的内存空间是有限的，不能无限制地增加调用栈。2.终止条件解析：递归函数的终止条件通常是通过一个判断语句来实现的，当满足特定条件时，递归调用停止。3.栈溢出解析：在递归函数中，如果递归深度过大，会导致调用栈溢出，因为调用栈的空间是有限的。4.O(n)解析：递归函数的时间复杂度通常是O(n)，其中n是递归调用的次数，因为每个递归调用都需要进行一系列操作。三、编程题1.编写一个递归函数，计算斐波那契数列的第n项（n为非负整数）。答案：```pythondeffibonacci(n):ifn<=1:returnnelse:returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)```解析：斐波那契数列的定义是每个数字是前两个数字的和，递归函数从0和1开始，不断递归调用自身来计算下一个数字。2.编写一个递归函数，判断一个整数是否为素数。答案：```pythondefis_prime(n):ifn<=1:returnFalseforiinrange(2,int(n**0.5)+1):ifn%i==0:returnFalsereturnTrue```解析：一个素数是只能被1和它自身整除的数。递归函数从2开始检查，如果找到任何小于等于n的平方根的因子，则n不是素数。3.编写一个递归函数，计算一个整数数组中所有元素的和。答案：```pythondefsum_array(arr,index=0):ifindex==len(arr):return0returnarr[index]+sum_array(arr,index+1)```解析：递归函数从数组的第一个元素开始累加，每次递归调用时索引递增，直到达到数组的末尾。四、简答题解析：递归函数的调用过程是函数自己调用自己，每次递归调用都会创建一个新的调用栈帧，并在栈帧中保存当前函数的状态。递归函数与迭代函数的主要区别在于递归函数使用调用栈来存储每次递归的状态，而迭代函数通常使用循环结构。五、应用题解析：递归函数需要检查数组中的每个元素，比较当前元素与已知的最大值和最小值，并在递归过程中更新这些值。递归终止的条件是遍历完整个数组。六、分析题解析：该代码片段是一个计算阶乘的递归函数。函数从0开始，递归地调