河北省沧州市运东七县联考2023-2024学年高一上学期期中数学（解析版）

河北省沧州市运东七县联考20232024学年高一上学期期中数学（解析版）（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题3分，共15题，45分）1.若复数$z=a+bi$满足$z^2=4$,则$a+b=$（）A.2B.2C.0D.42.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向下，且过点$(1,2)$，则$a+b+c=$（）A.1B.0C.1D.23.若等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1+a_3+a_5=21$，则$a_2=$（）A.5B.6C.7D.84.若直线$l$的方程为$y=2x+1$，则直线$l$与$x$轴的交点坐标为（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,0)5.若$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin\theta\cos\theta=$（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$6.若点$P(x,y)$在圆$x^2+y^2=4$上，则$x+y$的最大值为（）A.2$\sqrt{2}$B.$2\sqrt{3}$C.4D.27.若$\log_23=a$，则$\log_29=$（）A.$2a$B.$3a$C.$a^2$D.$\frac{a}{2}$8.若函数$f(x)=\ln(x^21)$的定义域为$D$，则$D$=（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(\infty,1]\cup[1,+\infty)$C.$(1,1)$D.$[1,1]$9.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.11B.10C.9D.810.若矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A^2=$（）A.$\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}7&8\\9&10\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}$11.若函数$f(x)=\frac{1}{x1}$的反函数为$f^{1}(x)$，则$f^{1}(2)=$（）A.3B.2C.1D.012.若函数$f(x)=|x1|$在区间$[0,2]$上的最小值为$m$，则$m=$（）A.0B.1C.2D.313.若等比数列$\{a_n\}$的公比为2，且$a_1+a_2+a_3=14$，则$a_1=$（）A.2B.4C.6D.814.若直线$l$的斜率为2，且过点$(1,3)$，则直线$l$的方程为（）A.$y=2x+1$B.$y=2x1$C.$y=2x+5$D.$y=2x+3$15.若$\tan\theta=\frac{1}{2}$，则$\sin\theta\cos\theta=$（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{5}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{2}{5}$二、填空题（每题3分，共5题，15分）16.若函数$f(x)=x^22x+3$的顶点坐标为$V(a,b)$，则$a=$_______，$b=$_______。17.若等差数列$\{a_n\}$的公差为3，且$a_1=2$，则$a_5=$_______。18.若$\triangleABC$的三个内角分别为$A=60^\circ$，$B=70^\circ$，则$C=$_______$^\circ$。19.若$\log_35=a$，则$\log_325=$_______。20.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\times\vec{b}=$_______。三、解答题（每题10分，共5题，50分）21.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象开口向上，且过点$(1,2)$和$(1,6)$。（1）求函数$f(x)$的解析式。（2）求函数$f(x)$的顶点坐标。（3）求函数$f(x)$的对称轴方程。22.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为2，且$a_1=3$。（1）求$a_3$和$a_5$的值。（2）求$S_7$的值。23.已知$\sin\theta=\frac{1}{2}$，其中$\theta$是第二象限的角。（1）求$\cos\theta$的值。（2）求$\tan\theta$的值。24.已知直线$l$的方程为$y=2x+1$，直线$m$的方程为$y=\frac{1}{2}x+3$。（1）求直线$l$和$m$的交点坐标。（2）求直线$l$和$m$的夹角。25.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，矩阵$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$。（1）求$AB$的值。（2）求$A+B$的值。四、填空题（每题2分，共10题，20分）26.若复数z34i，则z的模为_______。27.已知函数f(x)x22x1，则f(x)的顶点坐标为_______。28.若等差数列an的公差为3，且a12，则a4的值为_______。29.若直线l的方程为y3x2，则直线l与y轴的交点坐标为_______。30.若sinthetafrac12，且theta是第三象限的角，则costheta的值为_______。31.若点P(x,y)在圆x2y29上，且P在第一象限，则xy的最小值为_______。32.若log25a，则log225的值为_______。33.若向量veca(1,2)，vecb(3,4)，则vecaplusvecb的坐标为_______。34.若矩阵Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，则A的行列式值为_______。35.若矩阵Abeginpmatrix1&00&1endpmatrix，则A的特征值为_______。五、计算题（每题5分，共5题，25分）36.已知函数f(x)ax2bxc的图象开口向下，且过点(1,2)，(2,5)和(1,6)。（1）求函数f(x)的解析式。（2）求函数f(x)的顶点坐标。（3）求函数f(x)的对称轴方程。37.已知等差数列an的公差为2，且a13。（1）求a3和a5的值。（2）求S7的值。38.已知sinthetafrac12，其中theta是第二象限的角。（1）求costheta的值。（2）求tantheta的值。39.已知直线l的方程为y2x1，直线m的方程为yfrac12x3。（1）求直线l和m的交点坐标。（2）求直线l和m的夹角。40.已知矩阵Abeginpmatrix1&23&4endpmatrix，矩阵Bbeginpmatrix2&00&2endpmatrix。（1）求AB的值。（2）求AB的值。六、证明题（每题10分，共3题，30分）41.已知ab是正实数，且a2b21。证明：abab1。42.已知函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导。证明：存在c(a,b)，使得f(b)f(a)f'(c)(ba)。43.已知向量veca，vecb，vecc是空间中的三个向量，且满足vecatimesvecbvecc。证明：veca，vecb，vecc三向量共面。七、应用题（每题15分，共2题，30分）44.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，销售价格为p元。已知该产品的需求函数为D(p)kp，其中k为正常数。求：（1）该产品的销售收入函数R(p)。（2）该产品的利润函数P(p)。（3）当c2时，求使得利润最大的销售价格p。45.已知某地区的海拔高度与该地区的年降水量之间存在线性关系。根据历史数据，得到如下两个样本点：(200,40)和(500,70)。求：（1）该地区的海拔高度与年降水量之间的线性回归方程。（2）当海拔高度为300时，预测该地区的年降水量。（3）当海拔高度为600时，预测该地区的年降水量。一、选择题答案：1.B2.A3.C4.D5.B6.C7.A8.D9.B10.A11.C12.D13.A14.B15.C二、填空题答案：26.527.(1,2)28.829.(0,2)30.frac1231.032.233.(4,6)34.235.1,1三、计算题答案：36.(1)a1,b3,c2(2)(2,1)37.(1)15(2)1038.(1)2(2)139.(1)1(2)040.(1)2(2)4四、证明题答案：41.证明：由已知得a2b21，即a21b2。又因为ab是正实数，所以a1b。同理可得b1a。因此ab1ab。42.证明：由拉格朗日中值定理可知，存在c(a,b)，使得f(b)f(a)f'(c)(ba)。43.证明：由已知得vecatimesvecbvecc。又因为vecatimesvecb与vecc共线，所以vecc可由veca和vecb线性表示，即vecckvecalvecb，其中k和l是常数。因此，veca，vecb，vecc三向量共面。五、应用题答案：44.(1)R(p)kp2(2)P(p)kp2c(3)p345.(1)y0.12x7.9(2)45.1(3)67.71.复数：复数的模、共轭复数、复数的运算。2.函数：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、函数图像的变换。3.数列：等差数列、等比数列的通项公式、求和公式。4.向量：向量的坐标表示、向量的加减法、数乘、向量的内积、外积。5.矩阵：矩阵的加减法、数乘、矩阵的乘法、矩阵的逆