广西玉林、贵港、梧州2016届高三下学期联合考试理数试题

广西玉林、贵港、梧州2016届高三下学期联合考试理数试题一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x^3-3x+1，若存在实数a，使得f(a)=0，则a的取值范围是（）A.（-∞，-1）B.（-1，1）C.（1，+∞）D.（-∞，+∞）2.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则前n项和S_n=（）A.n^2+2nB.n^2+3nC.n^2+4nD.n^2+5n二、填空题要求：将正确答案填入空格中。3.设函数f(x)=x^2-2ax+1，若f(x)在区间[1,3]上单调递增，则a的取值范围是______。4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则该数列的公差d=______。三、解答题要求：请写出详细的解答过程。5.（1）已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=2，a_3+a_5=18，求该数列的通项公式。（2）已知数列{b_n}是等差数列，且b_1=3，b_4=11，求该数列的前n项和S_n。6.（1）已知函数f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的导函数f'(x)。（2）若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，求实数a的取值范围。四、证明题要求：证明下列各题中的结论。7.已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=1，公比q=-2，证明：数列{a_n}的项数n为偶数时，所有项的和S_n为负数。五、应用题要求：解答下列各题，并说明解题思路。8.一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，已知体积V=8xyz，表面积S=2(xy+yz+zx)。求长方体的最大体积和最小表面积，并求出对应的x、y、z的值。六、解答题要求：请写出详细的解答过程。9.（1）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。（2）设函数g(x)=f(x)-x，求g(x)的零点，并分析g(x)在实数范围内的单调性。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：因为f(x)=x^3-3x+1，所以f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。当x<-1时，f'(x)>0；当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。所以f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，故选B。2.A解析：由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，得a_n=3+2(n-1)=2n+1。前n项和S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(3+2n+1)=n^2+2n。二、填空题3.a≤1或a≥3解析：由f(x)=x^2-2ax+1，求导得f'(x)=2x-2a。令f'(x)=0，解得x=a。当x<a时，f'(x)<0；当x>a时，f'(x)>0。所以f(x)在x=a处取得极小值。因为f(x)在区间[1,3]上单调递增，所以a的取值范围是a≤1或a≥3。4.4解析：由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=10，得2+4d=10，解得d=4。三、解答题5.（1）a_n=2*(-2)^(n-1)解析：由a_1=2，a_3+a_5=18，得2*(-2)^2+2*(-2)^4=18，解得(-2)^2=9，所以公比q=-2。通项公式a_n=a_1*q^(n-1)=2*(-2)^(n-1)。（2）S_n=3n+(n(n-1))/2*4=2n^2+n解析：由b_1=3，b_4=11，得3+3d=11，解得d=4。前n项和S_n=n/2*(b_1+b_n)=n/2*(3+(n-1)*4)=2n^2+n。6.（1）f'(x)=6x^2-6x+2解析：由导数的定义，f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。代入f(x)=2x^3-3x^2+2x-1，得f'(x)=6x^2-6x+2。（2）a≤1或a≥3解析：由f(x)在区间[0,1]上单调递增，得f'(x)=6x^2-6x+2≥0。解不等式得x≤1或x≥3，结合区间[0,1]，得a≤1或a≥3。四、证明题7.证明：数列{a_n}的项数n为偶数时，所有项的和S_n为负数。解析：由a_1=1，公比q=-2，得a_n=1*(-2)^(n-1)。当n为偶数时，a_n=(-2)^n。因为n为偶数，所以(-2)^n<0。数列{a_n}的前n项和S_n=a_1+a_2+...+a_n=1+(-2)+4-8+...+(-2)^(n-1)。因为每一项都是负数，所以S_n<0。五、应用题8.最大体积V=8，最小表面积S=24，对应x=1，y=2，z=4解析：由V=8xyz，得xyz=1。由S=2(xy+yz+zx)，得xy+yz+zx=12。利用均值不等式，得(x+y+z)^2≥3(xy+yz+zx)，即(x+y+z)^2≥36。因为xyz=1，所以x+y+z≥6。当x=y=z=2时，V取得最大值8，S取得最小值24。六、解答题9.（1）交点坐标为(1,0)和(3,0)解析：令f(x)=0，得x^2-4x+3=0。分解因式得(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。所以交点坐标为(1,0)和(3,0)。（2）零点为x=2，g(x)在实数范围内单调递减解析：由g(x)=f(x)-x，得g(x)=x^2-5x+3。令g(x)=0，得x^2-5x+3=0。分