广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第一次联合模拟考试（数学文）

广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高三第一次联合模拟考试（数学文）一、选择题1.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f(x)$的周期为：A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{3\pi}{2}$2.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为：A.$5$B.$-5$C.$7$D.$-7$3.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，则$a_{10}$的值为：A.$23$B.$21$C.$19$D.$17$4.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)$的值为：A.$2$B.$3$C.$-2$D.$-3$5.已知复数$z=2+3i$，则$|z|$的值为：A.$5$B.$1$C.$2$D.$3$二、填空题1.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，公比$q=2$，则$a_5$的值为______。2.已知函数$f(x)=\lnx$，则$f'(1)$的值为______。3.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(2,-1)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为______。4.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=-2$，则$a_8$的值为______。5.已知函数$f(x)=\sinx$，则$f(2\pi)$的值为______。三、解答题1.已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$的定义域。2.已知函数$f(x)=\lnx$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。四、解答题6.已知数列$\{a_n\}$满足递推关系式$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，求：（1）数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。五、解答题7.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$，求：（1）函数$f(x)$的极值点；（2）函数$f(x)$的拐点。六、解答题8.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(4,-1)$，求：（1）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角；（2）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的投影长度。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.$2\pi$解析：函数$f(x)=\sinx+\cosx$可以写成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，其周期为$2\pi$。2.A.$5$解析：向量点乘公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$，代入得$2\times4+3\times(-1)=5$。3.B.$21$解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_{10}=3+(10-1)\times2=21$。4.B.$3$解析：函数的导数$f'(x)$可以通过求导法则得到，代入得$f'(x)=3x^2-6x+9$，则$f'(1)=3$。5.A.$5$解析：复数的模长公式为$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，代入得$|2+3i|=\sqrt{2^2+3^2}=5$。二、填空题1.$32$解析：等比数列的通项公式为$a_n=a_1q^{n-1}$，代入得$a_5=1\times2^{5-1}=32$。2.$1$解析：对数函数的导数公式为$f'(x)=\frac{1}{x}$，代入得$f'(1)=\frac{1}{1}=1$。3.$7$解析：向量点乘公式为$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$，代入得$3\times2+4\times(-1)=7$。4.$-9$解析：等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_8=5+(8-1)\times(-2)=-9$。5.$0$解析：正弦函数的周期为$2\pi$，所以$f(2\pi)=\sin(2\pi)=0$。三、解答题1.解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为所有使得分母不为零的$x$值，即$x\neq2$。2.解析：对数函数的导数公式为$f'(x)=\frac{1}{x}$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$。四、解答题6.解析：（1）数列$\{a_n\}$满足递推关系式$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$。可以通过递推关系式逐项计算得到通项公式，或者通过解一阶线性递推关系式得到通项公式。这里我们选择逐项计算：$a_2=2a_1+1=2\times1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\times3+1=7$，$a_4=2a_3+1=2\times7+1=15$，观察得到$a_n=2^n-1$。（2）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$可以通过通项公式直接计算得到：$S_n=(2^1-1)+(2^2-1)+\ldots+(2^n-1)=2^1+2^2+\ldots+2^n-n$。五、解答题7.解析：（1）函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的导数为$f'(x)=3x^2-12x+9$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。由于$f''(x)=6x-12$，在$x=1$时$f''(1)=-6<0$，在$x=3$时$f''(3)=6>0$，所以$x=1$是极大值点，$x=3$是极小值点。（2）函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的拐点可以通过求二阶导数的零点得到。由于$f''(x)=6x-12$，令$f''(x)=0$，解得$x=2$。在$x=2$时，$f''(x)$从负变正，所以$x=2$是拐点。六、解答题8.解析：（1）向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角$\theta$可以通过点乘公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$求得。首先计算$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|\vec{b}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$，$\vec{a}\cdot\vec{b}