广东省汕尾市2025学年上学期考研数学（二）高等数学应用题实战解析强化卷

广东省汕尾市2025学年上学期考研数学（二）高等数学应用题实战解析强化卷一、一元函数微积分要求：计算下列极限，并说明理由。1.计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$。2.计算极限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\lnx}$。3.计算极限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x}$。4.计算极限$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}$。二、多元函数微积分要求：计算下列偏导数和全微分。1.设函数$f(x,y)=x^2y-y^3$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$和$\frac{\partialf}{\partialy}$。2.设函数$f(x,y,z)=e^{x+y+z}$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。3.设函数$f(x,y,z)=x^2y+yz^2-xz^3$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。4.设函数$f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)$，求$\frac{\partialf}{\partialx}$，$\frac{\partialf}{\partialy}$和$\frac{\partialf}{\partialz}$。三、级数要求：判断下列级数的敛散性。1.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的敛散性。2.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$的敛散性。3.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2}$的敛散性。4.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^3}$的敛散性。四、多元函数微分法要求：求下列函数在指定点的梯度。1.设函数$f(x,y)=x^2e^y$，求$f$在点$(1,0)$的梯度。2.设函数$f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)$，求$f$在点$(1,1,1)$的梯度。3.设函数$f(x,y)=x^3y-y^3$，求$f$在点$(2,-1)$的梯度。4.设函数$f(x,y,z)=x^2y+yz^2-xz^3$，求$f$在点$(0,1,2)$的梯度。五、多元函数极值问题要求：求下列函数在指定区域内的最大值和最小值。1.设函数$f(x,y)=x^2+y^2-2xy+1$，求$f$在单位圆盘$x^2+y^2\leq1$上的最大值和最小值。2.设函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，求$f$在球体$x^2+y^2+z^2\leq4$上的最大值和最小值。3.设函数$f(x,y)=x^2y-2xy^2+1$，求$f$在平面区域$x^2+y^2\leq1$上的最大值和最小值。4.设函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz$，求$f$在长方体$0\leqx,y,z\leq1$上的最大值和最小值。六、线性代数要求：解下列线性方程组。1.解线性方程组$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x-y+3z=0\\-x+y-2z=2\end{cases}$。2.解线性方程组$\begin{cases}3x+4y-5z=1\\2x+3y-z=2\\-x+2y+3z=1\end{cases}$。3.解线性方程组$\begin{cases}x-y+2z=1\\2x+y-3z=-1\\-x+3y+z=2\end{cases}$。4.解线性方程组$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x-y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}$。本次试卷答案如下：一、一元函数微积分1.解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1$。2.解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{\lnx}=\lim_{x\to1}\frac{2x}{\frac{1}{x}}=2$。3.解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{1}=1$。4.解析：利用洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x-\cosx}{3x^2}=\frac{1-1}{0}=0$。二、多元函数微积分1.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2-3y^2$。2.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=e^{x+y+z}$，$\frac{\partialf}{\partialy}=e^{x+y+z}$，$\frac{\partialf}{\partialz}=e^{x+y+z}$。3.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy-z^3$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2+2yz-3xz^2$，$\frac{\partialf}{\partialz}=2yz-3xz^2$。4.解析：$\frac{\partialf}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}$，$\frac{\partialf}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}$，$\frac{\partialf}{\partialz}=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}$。三、级数1.解析：根据p-级数收敛判别法，当$p>1$时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛。2.解析：由于$n^2>n!$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}$发散。3.解析：由于$\lnn$的增长速度小于$n^2$，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lnn}{n^2}$收敛。4.解析：根据交错级数收敛判别法，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sinn}{n^3}$收敛。四、多元函数微分法1.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy}\right)=(e^y,x^2e^y)=(1,e)$。2.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy},\frac{\partialf}{\partialz}\right)=(e^{x+y+z},e^{x+y+z},e^{x+y+z})=(e,e,e)$。3.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy}\right)=(3xy^2-2y^3,x^3-3y^2)$。4.解析：$\nablaf=\left(\frac{\partialf}{\partialx},\frac{\partialf}{\partialy},\frac{\partialf}{\partialz}\right)=(2xy,x^2+2yz-3xz^2,yz-2xz^2)$。五、多元函数极值问题1.解析：对函数$f(x,y)$求偏导数，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x-2y$，$\frac{\partialf}{\partialy}=-2x+2y$，令偏导数等于零，得到$x=y$。将$x=y$代入原函数，得到$f(1,1)=1$，这是在单位圆盘上的最大值。由于函数在单位圆盘内连续，且无边界，所以最小值为$f(0,0)=1$。2.解析：对函数$f(x,y,z)$求偏导数，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialf}{\partialy}=2y$，$\frac{\partialf}{\partialz}=2z$，令偏导数等于零，得到$x=y=z$。将$x=y=z$代入原函数，得到$f(1,1,1)=3$，这是在球体内的最大值。由于函数在球体内连续，且无边界，所以最小值为$f(0,0,0)=0$。3.解析：对函数$f(x,y)$求偏导数，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2xy$，$\frac{\partialf}{\partialy}=x^2-4xy+2$，令偏导数等于零，得到$x=0$或$y=\frac{1}{2}$。将$x=0$代入原函数，得到$f(0,0)=1$，这是在平面区域上的最大值。由于函数在平面区域内连续，且无边界，所以最小值为$f(0,1)=-\frac{1}{2}$。4.解析：对函数$f(x,y,z)$求偏导数，得到$\frac{\partialf}{\partialx}=2x-2y-2z$，$\frac{\partialf}{\partialy}=-2x+2y+2z$，$\frac{\partialf}{\partialz}=-2x+2y+2z$，令偏导数等于零，得到$x=y=z$。将$x=y=z$代入原函数，得到$f(1,1,1)=1$，这是在长方体内的最大值。由于函数在长方体内连续，且无边界，所以最小值为$f(0,0,0)=0$。六、线性代数1.解析：将系数矩阵和增广矩阵进行行变换，得到$\begin{pmatrix}1&2&-1&1\\0&-1&3&0\\0&1&-2&2\end{pmatrix}$，解得$x=1$，$y=2$，$z=3$。2.解析：将系数矩阵和增广矩阵进行行变换，得到$\begin{pmatrix}3&4&-5&1\\0&-1&3&2\\0&2&3&1\end{pmatrix}$，解得$x=1$，$y=-3$，$z=