2025年线性代数（行列式与矩阵）大学选修课期末测试题库

2025年线性代数（行列式与矩阵）大学选修课期末测试题库一、行列式计算要求：计算下列行列式的值。1.计算3×3行列式\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\]2.计算4×4行列式\[\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}&b_{34}\\b_{41}&b_{42}&b_{43}&b_{44}\end{vmatrix}\]二、矩阵的运算要求：计算下列矩阵的乘积。1.计算两个3×3矩阵的乘积\[\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}\end{bmatrix}\]2.计算两个2×3矩阵的乘积\[\begin{bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\end{bmatrix}\]三、逆矩阵的求解要求：求解下列矩阵的逆矩阵。1.求一个3×3矩阵的逆矩阵\[\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{bmatrix}\]2.求一个2×2矩阵的逆矩阵\[\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}\]四、矩阵的秩与线性方程组要求：判断下列矩阵的秩，并说明理由。1.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]2.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]3.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\]五、特征值与特征向量要求：求下列矩阵的特征值和对应的特征向量。1.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}10&-1\\-1&10\end{bmatrix}\]2.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\1&0&2\end{bmatrix}\]3.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\]六、二次型与正定矩阵要求：判断下列二次型的正定性，并给出理由。1.判断二次型的正定性\[x^2+4xy+4y^2\]2.判断二次型的正定性\[x^2-2xy+y^2\]3.判断二次型的正定性\[2x^2+4xy+2y^2\]本次试卷答案如下：一、行列式计算1.计算3×3行列式的值：\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\]解析思路：使用三阶行列式的展开公式，按第一行展开，得到：\[a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\]2.计算4×4行列式的值：\[\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}&b_{34}\\b_{41}&b_{42}&b_{43}&b_{44}\end{vmatrix}\]解析思路：可以使用拉普拉斯展开法，按第一行展开，或者使用递归分解法，将其分解为两个2×2行列式的差。二、矩阵的运算1.计算两个3×3矩阵的乘积：\[\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}\end{bmatrix}\]解析思路：按照矩阵乘法的定义，对每个元素进行计算，得到：\[\begin{bmatrix}c_{11}d_{11}+c_{12}d_{21}+c_{13}d_{31}&c_{11}d_{12}+c_{12}d_{22}+c_{13}d_{32}&c_{11}d_{13}+c_{12}d_{23}+c_{13}d_{33}\\c_{21}d_{11}+c_{22}d_{21}+c_{23}d_{31}&c_{21}d_{12}+c_{22}d_{22}+c_{23}d_{32}&c_{21}d_{13}+c_{22}d_{23}+c_{23}d_{33}\\c_{31}d_{11}+c_{32}d_{21}+c_{33}d_{31}&c_{31}d_{12}+c_{32}d_{22}+c_{33}d_{32}&c_{31}d_{13}+c_{32}d_{23}+c_{33}d_{33}\end{bmatrix}\]2.计算两个2×3矩阵的乘积：\[\begin{bmatrix}e_{11}&e_{12}\\e_{21}&e_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&f_{13}\\f_{21}&f_{22}&f_{23}\end{bmatrix}\]解析思路：同样按照矩阵乘法的定义，对每个元素进行计算，得到：\[\begin{bmatrix}e_{11}f_{11}+e_{12}f_{21}&e_{11}f_{12}+e_{12}f_{22}&e_{11}f_{13}+e_{12}f_{23}\\e_{21}f_{11}+e_{22}f_{21}&e_{21}f_{12}+e_{22}f_{22}&e_{21}f_{13}+e_{22}f_{23}\end{bmatrix}\]三、逆矩阵的求解1.求一个3×3矩阵的逆矩阵：\[\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{bmatrix}\]解析思路：首先计算矩阵的行列式，如果行列式不为零，则可以使用伴随矩阵法或高斯-约当消元法求解逆矩阵。2.求一个2×2矩阵的逆矩阵：\[\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}\]解析思路：对于2×2矩阵，逆矩阵可以通过以下公式直接计算：\[\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{h_{11}h_{22}-h_{12}h_{21}}\begin{bmatrix}h_{22}&-h_{12}\\-h_{21}&h_{11}\end{bmatrix}\]四、矩阵的秩与线性方程组1.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]解析思路：通过行变换将矩阵化为行阶梯形式，观察非零行的数量，得到矩阵的秩。2.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\]解析思路：这是一个单位矩阵，其秩为3。3.判断矩阵的秩\[\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{bmatrix}\]解析思路：通过行变换将矩阵化为行阶梯形式，观察非零行的数量，得到矩阵的秩。五、特征值与特征向量1.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}10&-1\\-1&10\end{bmatrix}\]解析思路：首先计算特征多项式，然后求解特征值，最后求解每个特征值对应的特征向量。2.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\1&0&2\end{bmatrix}\]解析思路：同样先计算特征多项式，求解特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量。3.求矩阵的特征值和特征向量\[\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\]解析思路：计算特征多项式，求解特征值，然后求解每