2025年中考数学模拟试题（七）：类比思想在几何问题解决中的应用试卷

2025年中考数学模拟试题（七）：类比思想在几何问题解决中的应用试卷一、选择题要求：在下列各题中，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在下列各组图形中，能用类比思想证明全等的是（）A.两个等腰三角形，底边相等，腰长也相等B.两个直角三角形，一个锐角相等，斜边相等C.两个等边三角形，边长相等D.两个等腰三角形，顶角相等，腰长也相等2.下列各题中，能用类比思想解决的是（）A.已知等腰三角形的底边长为4，腰长为5，求该三角形的面积B.已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边长C.已知等边三角形的边长为6，求该三角形的面积D.已知两个等腰三角形的底边长分别为4和6，腰长分别为5和7，求两个三角形的面积比二、填空题要求：在下列各题中，把正确答案填在题中的横线上。3.若两个等腰三角形的底边长相等，腰长也相等，则这两个三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.无法确定4.若两个直角三角形的斜边长和一条直角边长分别相等，则这两个三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.无法确定三、解答题要求：解答下列各题。5.（1）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD⊥BC，且BD=CD，求证：三角形ABD≌三角形ACD。（2）已知直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，点D在AC上，AD=BC，求证：三角形ABD≌三角形ACD。6.（1）已知等边三角形ABC中，边长为a，求证：三角形ABC的面积是等腰三角形ABD的面积的2倍。（2）已知直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，斜边长为c，求证：三角形ABC的面积是等腰三角形ABD的面积的2倍。四、应用题要求：结合所给条件，利用类比思想解决实际问题。7.一个等腰三角形和一个直角三角形，它们的底边和斜边分别相等，求证：这两个三角形的面积之比等于它们的相似比的平方。五、证明题要求：运用类比思想，证明以下几何命题。8.（1）若两个等腰三角形的顶角相等，则这两个三角形相似。（2）若两个直角三角形的锐角相等，则这两个三角形相似。六、拓展题要求：在理解类比思想的基础上，尝试解决以下问题。9.已知等边三角形ABC的边长为a，点D在边AB上，AD=BC，点E在边AC上，AE=AB，求证：三角形AED是等边三角形。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析思路：等边三角形的性质是三个边都相等，因此两个等边三角形如果边长相等，则它们必定全等。2.D解析思路：题目要求使用类比思想解决问题，选项D中，两个等腰三角形的底边和腰长分别对应，通过类比直角三角形的性质，可以得出它们的面积比。二、填空题3.A解析思路：等腰三角形的定义是两腰相等的三角形，如果两个等腰三角形的底边和腰长都相等，那么根据全等三角形的判定条件，这两个三角形必定全等。4.A解析思路：直角三角形的全等条件之一是斜边和一条直角边相等，因此两个直角三角形如果斜边和一条直角边分别相等，则根据全等三角形的判定条件，这两个三角形必定全等。三、解答题5.（1）证明：由等腰三角形的性质，AB=AC，又因为AD⊥BC，BD=CD，根据直角三角形的性质，∠ADB=∠ADC=90°，因此三角形ABD和三角形ACD都有两个角相等，且它们共有一条边AD，根据角角边（AAS）全等条件，三角形ABD≌三角形ACD。（2）证明：由直角三角形的性质，∠B=90°，∠C=30°，所以∠A=60°。又因为AD=BC，根据直角三角形的性质，三角形ABC是30°-60°-90°三角形，因此AB=2AD，AC=AD。由于∠A=60°，∠B=90°，∠C=30°，三角形ABD和三角形ACD都有两个角相等，且它们共有一条边AD，根据角角边（AAS）全等条件，三角形ABD≌三角形ACD。6.（1）证明：等边三角形ABC的面积S1=（边长a×边长a×√3）/4。等腰三角形ABD的面积S2=（底边AD×高h）/2。由于AB=AC，且AD=BC，所以三角形ABD和三角形ABC是相似的，相似比为1:2，因此高h也满足h/2a=1/2，即h=a。所以S2=（底边AD×高a）/2=（边长a×边长a×√3）/4，所以S1=2S2。（2）证明：直角三角形ABC的面积S1=（斜边c×直角边AB）/2。等腰三角形ABD的面积S2=（底边AD×高h）/2。由于∠B=90°，∠C=30°，所以∠A=60°，且AB=AC=2AD。因此S2=（底边AD×高AD）/2。由于三角形ABC是30°-60°-90°三角形，所以AD=c/2，高h=AD×√3/2=c/2×√3/2=c√3/4。所以S2=（c/2×c√3/4）/2=c²√3/16。因此S1=2S2。四、应用题7.解答：设等腰三角形ABC和直角三角形DEF的底边和斜边分别为a和c，相似比为k，则它们的面积比为k²。由于底边和斜边分别相等，所以a=c。因此面积比为k²=1²=1，即两个三角形的面积之比等于它们的相似比的平方。五、证明题8.（1）证明：设两个等腰三角形ABC和A'B'C'的顶角分别为∠BAC和∠B'A'C'，且∠BAC=∠B'A'C'。由于ABC和A'B'C'都是等腰三角形，所以∠ABC=∠ACB，∠B'A'C'=∠A'C'B'。因此，三角形ABC和三角形A'B'C'都有两个角相等，且它们共有一条边BC（或B'C'），根据角角边（AAS）全等条件，三角形ABC≌三角形A'B'C'。（2）证明：设两个直角三角形ABC和A'B'C'的锐角分别为∠BAC和∠B'A'C'，且∠BAC=∠B'A'C'。由于ABC和A'B'C'都是直角三角形，所以∠ABC=90°，∠B'A'C'=90°。因此，三角形ABC和三角形A'B'C'都有两个角相等，且它们共有一条边AC（或A'C'），根据角角边（AAS）全等条件，三角形ABC≌三角形A'B'C'。六、拓展题9.解答：由于AD=BC，且AE=AB，所以三角形ABD和三角形ACE的底边和腰长分别相等，根据等腰三角形的性质，三角形ABD≌三角形ACE。因此，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE。由于∠ADB和∠AEC是三角形ADE的内角，所以∠ADE=180°-∠ADB-∠AEC=180°-∠BAD-∠CAE=1