2025年秋季学期大学高等数学（上）期末考试试卷解析与解题技巧分享

2025年秋季学期大学高等数学（上）期末考试试卷解析与解题技巧分享一、函数极限的计算要求：熟练掌握极限的基本概念，能够正确运用极限的运算法则进行计算。1.计算下列极限：(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$(2)$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$(3)$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}$(4)$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$2.设函数$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\neq0\\1&\text{if}x=0\end{cases}$，求$\lim_{x\to0}f(x)$。二、导数的计算要求：掌握导数的定义，能够运用导数的运算法则进行计算。1.求下列函数的导数：(1)$f(x)=e^x$(2)$g(x)=\lnx$(3)$h(x)=\frac{1}{x}$(4)$k(x)=\sqrt{x}$2.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f'(x)$。三、导数的应用要求：掌握导数的应用，能够运用导数解决实际问题。1.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的单调区间。2.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的极值。3.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的拐点。4.设函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，求$f(x)$的凹凸性。四、定积分的计算要求：掌握定积分的概念和性质，能够运用定积分的运算法则进行计算。1.计算下列定积分：(1)$\int_0^1x^2\,dx$(2)$\int_1^3(2x+1)\,dx$(3)$\int_{-\pi}^{\pi}\cosx\,dx$(4)$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sinx\,dx$2.设函数$f(x)=x^3-3x+2$，计算定积分$\int_1^2f(x)\,dx$。五、不定积分的计算要求：掌握不定积分的基本方法，能够计算给定函数的不定积分。1.计算下列不定积分：(1)$\int(e^x+\cosx)\,dx$(2)$\int(x^2+2x-1)\,dx$(3)$\int\frac{1}{x^2}\,dx$(4)$\int\sqrt{x}\,dx$2.设函数$f(x)=e^x\sinx$，求$f(x)$的原函数$F(x)$。六、级数的收敛性判断要求：掌握级数的收敛性判别方法，能够判断给定级数的收敛性。1.判断下列级数的收敛性：(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$(3)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\lnn}$(4)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$2.设级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛级数，其中$a_n=\frac{1}{n^2+3}$，求该级数的和$S$。本次试卷答案如下：一、函数极限的计算1.(1)$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。解析：根据极限的定义，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{\cosx}=\lim_{x\to0}\tanx=0$。(2)$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$。解析：利用因式分解，$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$，所以$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=2+2=4$。(3)$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}=0$。解析：当$x\to\infty$时，$x^2$的增长速度远大于1，所以$\frac{1}{x^2+1}\to0$。(4)$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$。解析：根据洛必达法则，$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}[\ln(1+x)]}{\frac{d}{dx}[x]}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=1$。2.$\lim_{x\to0}f(x)=1$。解析：由于$f(x)$在$x=0$处连续，所以$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=1$。二、导数的计算1.(1)$f'(x)=e^x$。解析：$e^x$的导数仍然是$e^x$。(2)$g'(x)=\frac{1}{x}$。解析：$\lnx$的导数是$\frac{1}{x}$。(3)$h'(x)=-\frac{1}{x^2}$。解析：$\frac{1}{x}$的导数是$-\frac{1}{x^2}$。(4)$k'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$。解析：$\sqrt{x}$的导数是$\frac{1}{2\sqrt{x}}$。2.$f'(x)=3x^2-3$。解析：根据幂函数的导数法则，$x^3$的导数是$3x^2$，$-3x$的导数是$-3$。三、导数的应用1.$f(x)$的单调区间为$(-\infty,-1)$和$(1,\infty)$。解析：求导数$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=\pm1$，所以单调增区间为$(-\infty,-1)$和$(1,\infty)$。2.$f(x)$的极值为$f(-1)=4$和$f(1)=0$。解析：极值点为导数为0的点，即$x=-1$和$x=1$，计算$f(-1)$和$f(1)$得到极值。3.$f(x)$的拐点为$(1,0)$。解析：拐点是二阶导数变号的点，求二阶导数$f''(x)=6x$，令$f''(x)=0$得$x=0$，但$x=0$不在定义域内，所以拐点为$(1,0)$。4.$f(x)$的凹凸性为凹。解析：二阶导数$f''(x)=6x$，当$x>0$时，$f''(x)>0$，所以$f(x)$在$(0,\infty)$上凹。四、定积分的计算1.(1)$\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}$。解析：根据定积分的定义，$\int_0^1x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\frac{1}{3}$。(2)$\int_1^3(2x+1)\,dx=8$。解析：根据定积分的定义，$\int_1^3(2x+1)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\left[2\left(\frac{i}{n}\right)+1\right]=8$。(3)$\int_{-\pi}^{\pi}\cosx\,dx=0$。解析：$\cosx$是一个周期函数，在一个周期内的积分为0。(4)$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sinx\,dx=1$。解析：根据定积分的定义，$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sinx\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{i\pi}{2n}\right)=1$。2.$\int_1^2f(x)\,dx=\frac{1}{3}$。解析：根据定积分的定义，$\int_1^2f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}f\left(1+\frac{i}{n}\right)=\frac{1}{3}$。五、不定积分的计算1.(1)$\int(e^x+\cosx)\,dx=e^x+\sinx+C$。解析：$e^x$的不定积分是$e^x$，$\cosx$的不定积分是$\sinx$，加上常数$C$。(2)$\int(x^2+2x-1)\,dx=\frac{1}{3}x^3+x^2-x+C$。解析：根据幂函数的不定积分法则，$x^2$的不定积分是$\frac{1}{3}x^3$，$2x$的不定积分是$x^2$，$-1$的不定积分是$-x$，加上常数$C$。(3)$\int\frac{1}{x^2}\,dx=-\frac{1}{x}+C$。解析：$\frac{1}{x^2}$的不定积分是$-\frac{1}{x}$，加上常数$C$。(4)$\int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$。解析：$\sqrt{x}$的不定积分是$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$，加上常数$C$。2.$F(x)=e^x\sinx+C$。解析：$e^x\sinx$的原函数可以通过分部积分法求得，$F(x)=e^x\sinx+C$。六、级数的收敛性判断1.(1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^2+1}$收敛。解析：这是一个$p$-级数，$p=2>1$，所以级数收敛。(2)$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$收敛。解析：这是一个交错级数，且$\frac{1}{\sqrt{n}}$单调递减且趋于0，根据莱布尼茨判别法，级数