东北三省三校2025届高三3月第一次联合模拟考试（一模）（文）（数学）

东北三省三校2025届高三3月第一次联合模拟考试（一模）（文）（数学）一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\lnx+ax^2+1$，其中$a$为常数，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,0)$B.$(-\infty,-\frac{1}{2})$C.$(-\frac{1}{2},+\infty)$D.$[0,+\infty)$2.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，$a_2+a_5+a_8=15$，则$a_3+a_6+a_9$的值为（）A.9B.12C.18D.243.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，则$M-m$的值为（）A.1B.2C.3D.44.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值为$m$，则$m$的值为（）A.1B.2C.3D.45.已知函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，则实数$a$的值为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题要求：将答案填入空格内。6.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，则$a_5$的值为______。7.已知函数$f(x)=\lnx+ax^2+1$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是______。8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，则$M-m$的值为______。9.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值为$m$，则$m$的值为______。10.已知函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，则实数$a$的值为______。三、解答题要求：解答下列各题。11.（本小题满分12分）已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，若$a_1+a_4+a_7=9$，$a_2+a_5+a_8=15$，求$a_3+a_6+a_9$的值。12.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\lnx+ax^2+1$，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。13.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，求$M-m$的值。14.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，若$a_{n+1}-a_n$的最小值为$m$，求$m$的值。15.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$，若$f(x)$的图像关于直线$x=a$对称，求实数$a$的值。四、解答题要求：解答下列各题。16.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4$，求函数$f(x)$的极值点，并判断函数的单调性。17.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{n^2-1}{n}$，求该数列的前$n$项和$S_n$。18.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函数$f(x)$的定义域，并求出函数的导数$f'(x)$。五、解答题要求：解答下列各题。19.（本小题满分12分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。20.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求实数$f(1)$的值。21.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{2^n}{n!}$，求该数列的前$n$项和$S_n$。六、解答题要求：解答下列各题。22.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\ln(x-1)+\sqrt{x}$，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$。23.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n+1$，若$a_{n+1}-a_n$的最大值为$M$，求$M$的值。24.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求函数$f(x)$的图像在$[-2,2]$区间内的凹凸性。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：函数$f(x)=\lnx+ax^2+1$在$(0,+\infty)$上单调递增，即$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax>0$对所有$x>0$成立。由于$\frac{1}{x}>0$，所以$2ax>0$，即$a>0$。因此，实数$a$的取值范围是$(-\frac{1}{2},+\infty)$。2.D解析：由等差数列的性质，$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，$a_7=a_1+6d$。因此，$a_3+a_6+a_9=a_1+2d+a_1+5d+a_1+8d=3a_1+15d$。又因为$a_1+a_4+a_7=3a_1+12d=9$，$a_2+a_5+a_8=3a_1+15d=15$，解得$a_1=1$，$d=1$。所以$a_3+a_6+a_9=3(1)+15(1)=24$。3.C解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$[1,2]$上的最大值和最小值出现在区间端点或导数为0的点。计算$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$。计算$f(1)=2$，$f(2)=2$，所以$M-m=2-2=0$。4.B解析：数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，则$a_{n+1}-a_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3$。因此，$a_{n+1}-a_n$的最小值为$3$。5.B解析：函数$f(x)=x^2-2ax+a^2$的图像关于直线$x=a$对称，意味着对称轴$x=a$是函数的极值点。计算$f'(x)=2x-2a$，令$f'(x)=0$得$x=a$。因此，实数$a$的值为$1$。二、填空题6.5解析：由等差数列的性质，$a_5=a_1+4d$。又因为$a_1+a_4+a_7=3a_1+12d=9$，解得$a_1=1$，$d=1$。所以$a_5=1+4(1)=5$。7.$(-\frac{1}{2},+\infty)$解析：同选择题第1题解析。8.3解析：同选择题第3题解析。9.3解析：同选择题第4题解析。10.1解析：同选择题第5题解析。三、解答题11.24解析：同选择题第2题解析。12.$(-\frac{1}{2},+\infty)$解析：同选择题第1题解析。13.0解析：同选择题第3题解析。14.3解析：同选择题第4题解析。15.1解析：同选择题第5题解析。四、解答题16.极值点：$x=1$和$x=2$，单调性：在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上单调递增，在$(1,2)$上单调递减。解析：计算$f'(x)=6x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=2$。计算$f''(x)=12x-6$，$f''(1)=6>0$，$f''(2)=-6<0$。因此，$x=1$是局部极小值点，$x=2$是局部极大值点。17.$S_n=n^2$解析：由数列的通项公式$a_n=\frac{n^2-1}{n}=n-\frac{1}{n}$，得到$S_n=1+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{3}+\cdots+n+\frac{1}{n}$。通过分组求和，得到$S_n=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}=\frac{n^2}{2}-\frac{1}{2n}+1$。18.定义域：$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$，$f'(x)=\frac{2x^2-4x+4}{(x-2)^2}$解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为所有$x$值，使得分母不为0。因此，$x\neq2$，所以定义域为$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$。计算导数$f'(x)=\frac{(x^2-4)'(x-2)-(x^2-4)(x-2)'}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)-(x^2-4)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+4}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+4}{(x-2)^2}$。五、解答题19.首项$a_1=3$，公差$d=6$解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到$S_n=\frac{n}{2}(a_1+3n^2+2n)$。由于$S_n=3n^2+2n$，解得$a_1=3$，$d=6$。20.$f(1)=-1$解析：由于$f(x)=x^3-3x^2+2$在$x=1$处取得极值，计算$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=1$。计算$f(1)=1^3-3(1)^2+2=-1$。21.$S_n=2^n$解析：由数列的通项公式$a_n=\frac{2^n}{n!}$，得到$S_n=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}$。通过错位相减法，得到$S_n-S_n/2=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}-\frac{2^1}{1!}-\frac{2^2}{2!}-\frac{2^3}{3!}-\cdots-\frac{2^n}{n!}=2^1+2^2+\frac{2^3}{2!}+\frac{2^4}{3!}+\cdots+\frac{2^n}{n!}-2^n=1$。因此，$S_n=2^n$。六、解答题22.$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$解析：计算$f'(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。23.$M=3$解析：由数列的通项公式$a_n=3n+1$，得到$a_{n+1}-a_n=3(n+1)+1-(3n+