【区间型符号数据分析的相关理论基础分析】3500字

区间型符号数据分析的相关理论基础分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u132441.1数据预处理的几种方法 145521.2区间型符号数据分析的相关理论 237181.1.1区间数的定义 2201181.1.2区间数的运算 2150331.1.3区间矩阵的定义 3173561.1.4区间矩阵的运算 422591.1.5正态分布的区间型符号数据的描述统计量 4324921.1.6正态分布的可加性 51.1数据预处理的几种方法数据预处理可有效简化数据模型的结构，剔除不同量纲对模型造成的影响以及突出变量之间的相关性，是复杂工业系统建模方法的一个重要环节。数据预处理的方法主要包括：中心化处理、标准化处理以及归一化处理，上述三种数据预处理方法的数学描述如下所示。(1) 中心化处理数据的中心化处理是通过变量减去均值，使得新的坐标系下的数据中心为坐标的原点，当给定数据集X∈Rm×n，此时m代表样本大小，xij公式(2-1)中i为行索引，j为列索引，xj表示第j(2) 标准化处理数据的标准化处理是数据预处理方法中的一个重要方法，包括数据的中心化处理和无量纲化处理，经过处理后的数据服从标准正态分布。数据的标准化处理数学表达式为：X=D公式(2-2)中E(X)表示X对应均值矩阵，Dσ(3) 归一化处理数据的归一化处理是将待处理的数据映射到一定范围内，一般为0到1之间，该处理方法是将一个有量纲表达式转化为无量纲表达式，可以避免具有不同尺度和意义变量不平等的使用，数据归一化处理的数学表达式为：X=X−Min公式(2-3)中Min表示为样本数据中的最小值，Max表示为样本数据中的最大值。1.2区间型符号数据分析的相关理论在许多领域的实际问题中，受到测量误差、测量的不全面性以及评价参数的不完整性等因素的影响，被测量值经常不能被固定准确的实数来表示，往往使数据有一个取值范围，即测量值是区间数。因此，对于区间型符号数据的研究是很有必要的。接下来，本文将给出区间数的定义及基本运算，并把这种定义及基本运算推广到区间矩阵。此外在实际生活中，区间内部是服从一般分布的，例如最常见的正态分布，因此在本节还将对正态分布的区间型符号数据的描述统计量进行简要概述，并给出正态分布可加性的相关证明。1.1.1区间数的定义定义1.1设R是实数集，对任意的a−,a+∈R，如果存在一个闭区间满足a=a−定义1.2若将区间数的中点和区间数的半径分别记为：ac=(a−+a+)/2，∆a=(a+−a−定义1.3如果两个区间数a=a−,a+，b=b−,b+，满足1.1.2区间数的运算设∗∈{+,−,×,÷}是实数集R上的运算[25]，接下来本文将这一运算推广到区间数ℝ上，具体如下所示：对任意a=a−,数c与a的乘积为：ca=[caa与b之和为：a+b=[a−a与b之差为：a−b=[a−注意：对于区间减法，根据上述基本运算规则有a−a≠0。a与b的乘积为：a∗b=[minaa除以b为：1b=a的正整数幂为[26]：ar=[公式(2-9)中0≤a−易知，对于四则运算，实数具有一些代数性质也适用于区间数，例如加法的交换律和结合律，乘法的交换律和结合律。然而，分配律却不一定成立，也就是在通常情况下，AB+C例如，取区间数X1=[4,6]、X2X然而，有X因此，X1AB+C⊆AB+AC我们通常称这种包含关系为次分配律，这是区间运算所特有的性质。1.1.3区间矩阵的定义定义1.4我们称每一个分量均是区间数的向量为区间向量[27]。用ℝn表示所有n维区间向量的集合，比如某一区间向量为A，则分量A此时，称Ac=[A1c,A定义1.5若存在一个矩阵，其所有元素都是区间数，则称该矩阵为区间矩阵[27]。用ℝn×n表示所有n阶区间矩阵组成的集合。设xij=X=且该矩阵的中点矩阵为：X该矩阵的半径矩阵为：∆X=1.1.4区间矩阵的运算给定两个m×n维的区间矩阵，具体如下所示：A=B=A与B之和为：A+B=[AA与B之差为：A−B=[A若将两个矩阵A=[Aij]m×nCij1.1.5正态分布的区间型符号数据的描述统计量对于某一特定的区间变量Xj，假设其第i个符号对象的观测值xij=aij,bFXj其中，Fxijx为服从正态分布的区间数x对上述经验分布函数进行求导，可得到经验密度函数为：fXj其中fxijx根据均值的定义，易得正态分布的区间变量XjXj=其中，μij为正态分布区间变量xij的均值。然而在实际运算中，μij接下来，由方差的计算公式易得正态分布区间变量XjSj2其中，μij为服从正态分布的区间变量xij的均值，σij1.1.6正态分布的可加性由于本文讨论的数据都是服从正态分布的，因此本文将给出正态分布的可加性的相关证明。正态分布的可加性是指两个独立的正态变量之和仍然服从正态分布。在证明正态分布可加性的过程中，需要使用到卷积公式，因此下面本文将先证明卷积公式。定理1.1(卷积公式[29])设X和Y是两个相互独立且连续的随机变量，有Z=X+Y，其密度函数分布如下所示：pzz具体证明过程如下：Z的分布函数为：F===由此可得密度函数为：p令z−y=x，则有：p证毕。接下来，证明正态分布的可加性。定理1.2(正态分布的可加性[29])设存在随机变量X~N(μ1,σ12)Z=X+Y~N(μ1成立。具体证明过程如下所示：首先需明确Z=X+Y仍在−∞,+∞上取值，利用卷积公式(2-18)可得：p对上式被积函数中的指数部分按照y的幂次进来展开，再合