江苏省常州市金坛区2023-2024学年高二上学期期中数学（原卷版）

江苏省常州市金坛区20232024学年高二上学期期中数学（原卷版）一、选择题（每题1分，共5分）1.若复数$z=a+bi$满足$z^2=4$,则$a+b=$?A.2B.2C.0D.42.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3,d=4$，则$a_{10}=$?A.39B.43C.47D.533.若函数$f(x)=x^22x+1$，则$f(x)$的最小值是?A.0B.1C.1D.24.在直角坐标系中，点$(1,2)$关于$y$轴的对称点是?A.$(1,2)$B.$(1,2)$C.$(1,2)$D.$(2,1)$5.若$\sin\theta=\frac{1}{2}$，且$\theta$是第二象限的角，则$\cos\theta=$?A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$二、判断题（每题1分，共5分）1.若$a,b$为实数，且$a^2=b^2$，则$a=b$。（）2.在等比数列$\{b_n\}$中，若$b_1=2,q=3$，则$b_4=18$。（）3.函数$y=\frac{1}{x}$在其定义域内是单调递增的。（）4.若直线$l_1:y=2x+1$和直线$l_2:y=\frac{1}{2}x+3$平行，则它们无交点。（）5.在直角三角形中，若一个锐角的正弦值是$\frac{3}{5}$，则它的余弦值也是$\frac{3}{5}$。（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若$3x7=2x+5$，则$x=$____。2.在等差数列$\{c_n\}$中，若$c_1=5,d=3$，则$c_5=$____。3.若函数$g(x)=x^33x^2+2x$，则$g'(1)=$____。4.若$\log_28=a$，则$a=$____。5.在直角坐标系中，点$(2,3)$关于原点的对称点是____。四、简答题（每题2分，共10分）1.解释什么是等差数列的通项公式。2.简述函数的单调性和奇偶性的定义。3.描述直角坐标系中两点间的距离公式。4.解释什么是等比数列的公比。5.简述三角函数中的正弦定理。五、应用题（每题2分，共10分）1.若等差数列$\{d_n\}$中，$d_1=4,d_3=10$，求$d_5$。2.已知函数$f(x)=x^24x+3$，求$f(x)$的顶点坐标。3.若$\log_327=a$，求$a$的值。4.在直角坐标系中，点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，求线段$AB$的长度。5.若$\sin\theta=\frac{4}{5}$，且$\theta$是第一象限的角，求$\cos\theta$的值。六、分析题（每题5分，共10分）1.已知等差数列$\{e_n\}$中，$e_1=3,e_4=12$，求证：$e_7=21$。2.已知函数$g(x)=x^33x^2+2x$，求证：$g(x)$在$x=1$处取得极小值。七、实践操作题（每题5分，共10分）1.请绘制函数$y=x^22x+1$的图像，并标出其顶点坐标。2.请绘制函数$y=\frac{1}{x}$的图像，并标出其定义域和值域。八、专业设计题（每题2分，共10分）1.设计一个等差数列an，其中a12，公差d3，求前n项和Sn的表达式。2.设计一个函数f(x)x33x2x，求其导数f'(x)的表达式。3.设计一个等比数列bn，其中b13，公比q2，求第n项bn的表达式。4.设计一个直角三角形，其中一直角边长为4，另一直角边长为3，求斜边长。5.设计一个三角函数ysinx，求其在xπ4处的函数值。九、概念解释题（每题2分，共10分）1.解释什么是等差数列的公差。2.解释什么是函数的导数。3.解释什么是等比数列的通项公式。4.解释什么是直角三角形的斜边。5.解释什么是三角函数的正弦值。十、思考题（每题2分，共10分）1.若等差数列cn中，c13，公差d2，求证：cn32n1。2.若函数g(x)x22x1，求证：g(x)的顶点坐标为(1,1)。3.若等比数列dn中，d12，公比q3，求证：dn23n1。4.若直角三角形的两直角边长分别为a和b，求证：斜边长ca2b2。5.若三角函数ycosx，求证：y在x0处的函数值为1。十一、社会扩展题（每题3分，共15分）1.研究等差数列在现实生活中的应用，例如在金融、物理等领域。2.探讨函数的单调性和奇偶性在现实生活中的应用，例如在经济学、工程学等领域。3.分析等比数列在现实生活中的应用，例如在生物、化学等领域。4.研究直角坐标系在现实生活中的应用，例如在建筑、导航等领域。5.探讨三角函数在现实生活中的应用，例如在声学、光学等领域。一、选择题答案1.B2.C3.A4.A5.C二、判断题答案1.正确2.错误3.正确4.错误5.正确三、填空题答案1.52.73.14.95.3四、简答题答案1.等差数列的通项公式是ana1n1d。2.函数的导数表示函数在某一点的斜率。3.等比数列的通项公式是bnb1qn1。4.直角三角形的斜边是直角三角形中最长的边。5.三角函数的正弦值表示三角形中对边与斜边的比值。五、应用题答案1.线段AB的长度是2。2.sinthetafrac45，costhetafrac35。3.线段CD的长度是2。4.sinalphafrac12，cosalphafrac32。5.线段EF的长度是2。六、分析题答案1.已知等差数列en中，e13，e412，求证：e721。解：由等差数列的通项公式可知，ene1n1d，其中d是公差。已知e13，e412，可以求出公差de4e1313。所以e7e16de16e4e1e13612e121。2.已知函数g(x)x33x2x，求证：g(x)在x1处取得极小值。解：求出g(x)的导数g'(x)3x26x1。令g'(x)0，解得x1。再求出g''(x)6x6，可知g''(1)0。所以g(x)在x1处取得极小值。七、实践操作题答案1.请绘制函数yx22x1的图像，并标出其顶点坐标。解：函数yx22x1的图像是一个开口朝上的抛物线，顶点坐标为(1,1)。2.请绘制函数yfrac1x的图像，并标出其定义域和值域。解：函数yfrac1x的图像是一个经过原点的双曲线，定义域为x0，值域为y0。1.等差数列：等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、等差数列的性质。2.函数：函数的定义、函数的图像、函数的性质（单调性、奇偶性）、函数的导数、函数的极值。3.等比数列：等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、等比数列的性质。4.直角三角形：直角三角形的性质、直角三角形的边长关系（勾股定理）。5.三角函数：三角函数的定义、三角函数的图像、三角函数的性质、三角函数的值域。各题型所考察学生的知识点详解及示例：1.选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，如等差数列的通项公式、函数的导数等。2.判断题：考察学生对基础知识的判断能力，如等差数列的性质、函数的奇偶性等。3.填空题：考察学生对基础知识的记忆程度，如等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式等。4.简答题：考