2024-2025学年高中数学周周回馈练二含解析新人教A版必修2

PAGE1-周周回馈练对应学生用书P19一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A．4倍B．3倍C．eq\r(2)倍D．2倍答案D解析设等边圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知得l＝2r，所以eq\f(S侧,S底)＝eq\f(πrl,πr2)＝eq\f(l,r)＝2．2．若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．eq\f(32π,3)C．8πD．4π答案A解析由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2．又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝eq\r(3)a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝eq\r(3)，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π．3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为()A．eq\f(3\r(3)ab,4)B．eq\f(\r(3)＋2,2)abC．(eq\r(3)＋eq\r(2))abD．eq\f(2\r(3)＋\r(2),2)ab答案C解析如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形，侧面BB1C1C为矩形．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∴BC＝eq\r(2)a．∴S矩形BCC1B1＝eq\r(2)a·b＝eq\r(2)ab．∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，∴点B到直线AA1的距离为asin60°＝eq\f(\r(3),2)a．∴S四边形AA1C1C＝S四边形AA1B1B＝eq\f(\r(3),2)ab．∴S侧＝2×eq\f(\r(3),2)ab＋eq\r(2)ab＝(eq\r(3)＋eq\r(2))ab．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．eq\f(2π,3)B．πC．eq\f(4π,3)D．2π答案A解析由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V＝V圆柱－2V半球＝π×12×2－2×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)．故选A．5．如图所示，从左到右分别是一个多面体的直观图、正视图、侧视图．根据给出的尺寸，则该多面体的体积为()A．eq\f(2,3)B．6C．eq\f(22,3)D．8答案C解析依题意，把题中多面体补成如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，则所求的体积是由正方体ABCD－A1B1C1D1的体积减去三棱锥E－A1B1D1的体积而得到的．∵VE－A1B1D1＝eq\f(1,3)×S△A1B1D1×A1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3)，V正方体AC1＝23＝8，∴所求多面体的体积V＝8－eq\f(2,3)＝eq\f(22,3)．6．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是()A．9＋4(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2B．10＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))cm2C．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2D．11＋2(eq\r(2)＋eq\r(3))cm2答案C解析如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积为2×2＋2×1＋2×eq\r(2)＋2×eq\r(5)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)－1))＝11＋2(eq\r(2)＋eq\r(5))cm2．故选C．二、填空题7．已知一个圆锥的侧面绽开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案eq\f(2\r(2)π,3)解析因为扇形的弧长为2π，所以圆锥的母线长为3，高为2eq\r(2)，所求体积V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2)π,3)．8．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________cm2．答案80＋48eq\r(15)解析如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝eq\f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，所以S梯形BB1C1C＝eq\f(1,2)×(8＋4)×2eq\r(15)＝12eq\r(15)，故四棱台的侧面积S侧＝4×12eq\r(15)＝48eq\r(15)，所以四棱台的表面积S表＝48eq\r(15)＋4×4＋8×8＝80＋48eq\r(15)．9．正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为________．答案eq\f(243π,16)解析如图，设底面ABCD的中心为E，则PE为正四棱锥的高，PE＝4，AB＝2，AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，设球心为O，则点O肯定在线段PE上，连接OA，设球的半径为R，在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，所以球的体积为V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16)．三、解答题10．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，其次个球与这个正方体的各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解设正方体的棱长为a．(1)正方体内切球的球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2．(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2．由上知：S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，试求这两个截面圆间的距离．解如图(1)(2)，设球的大圆为圆O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8．当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝eq\r(102－62)－eq\r(102－82)＝2；当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝eq\r(102－62)＋eq\r(102－82)＝14．综上可知，两截面圆间的距离为2或14．12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解如图所示，在三棱台ABC－A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，连接OO′，A′D′，AD，DD′，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，设为h0，所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)h0＝75h0．上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75h0＝325eq\r(3)，所以h0＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．又O′D′＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×30＝5eq\r(3)(cm)，设棱台的高为h，则h＝O′O＝eq\r(h\o