2025年加拿大数学竞赛（CMO）组合数学与数论进阶模拟试卷：历年真题剖析

2025年加拿大数学竞赛（CMO）组合数学与数论进阶模拟试卷：历年真题剖析一、选择题（每题5分，共25分）1.在集合A={1,2,3,4,5}中，集合B={x|x是A中偶数}，那么集合B的元素个数是多少？A.2B.3C.4D.52.已知函数f(x)=2x+1，那么函数f(x)的图像关于哪条直线对称？A.x轴B.y轴C.直线y=xD.直线y=-x3.在三角形ABC中，角A的度数是60°，角B的度数是45°，那么角C的度数是多少？A.60°B.75°C.90°D.105°4.已知等差数列的前三项分别是2,5,8，那么这个等差数列的公差是多少？A.1B.2C.3D.45.下列哪个数是质数？A.49B.81C.97D.99二、填空题（每题5分，共25分）1.若一个数的平方根是3，那么这个数是______。2.在直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴的对称点是______。3.下列数中，既是偶数又是质数的是______。4.已知等差数列的前三项分别是-1,2,5，那么这个等差数列的第四项是______。5.在三角形ABC中，角A的度数是30°，角B的度数是60°，那么角C的度数是______。三、解答题（每题10分，共30分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)的零点。2.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(4,6)，求线段AB的中点坐标。3.已知等差数列的前三项分别是3,7,11，求这个等差数列的公差和第10项。四、应用题（每题10分，共10分）4.小明有一块长方形的地毯，长为8米，宽为4米。他计划将地毯裁剪成若干个相同大小的正方形块，每个正方形块的边长为2米。请计算小明最多能裁剪出多少个这样的正方形块？五、证明题（每题10分，共10分）5.证明：对于任意正整数n，都有n^3+n是3的倍数。六、综合题（每题10分，共10分）6.已知数列{an}是一个等比数列，其中a1=2，公比q=3。求这个数列的前5项和。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：集合B={x|x是A中偶数}，即B包含A中的偶数。A中的偶数有2和4，所以B的元素个数是2。2.C解析：函数f(x)=2x+1的图像是一个斜率为2的直线，其图像关于直线y=x对称。3.B解析：三角形内角和为180°，已知角A和角B，可以计算出角C的度数为180°-60°-45°=75°。4.A解析：等差数列的公差是相邻两项之差，所以公差为5-2=3。5.C解析：质数是只有1和它本身两个因数的自然数，97是质数。二、填空题1.9解析：一个数的平方根是3，则这个数是3的平方，即9。2.(2,-3)解析：点P(2,3)关于x轴的对称点是将点P的y坐标取相反数，得到(2,-3)。3.2解析：2既是偶数又是质数，因为只有1和它本身两个因数。4.8解析：等差数列的第四项是第三项加上公差，即5+3=8。5.90解析：三角形内角和为180°，已知角A和角B，可以计算出角C的度数为180°-30°-60°=90°。三、解答题1.x=1或x=3解析：解方程x^2-4x+3=0，可以通过因式分解或者使用求根公式得到x=1或x=3。2.(3,4)解析：线段AB的中点坐标是两点坐标的平均值，即((1+4)/2,(2+6)/2)=(3,4)。3.公差为4，第10项为41解析：等差数列的公差是相邻两项之差，所以公差为11-7=4。第10项是首项加上9倍的公差，即3+9*4=41。四、应用题4.16解析：地毯的面积是长乘以宽，即8米*4米=32平方米。每个正方形块的面积是2米*2米=4平方米。所以可以裁剪出32平方米/4平方米=8个正方形块。五、证明题5.证明：对于任意正整数n，有n^3+n=n(n^2+1)。因为n是正整数，所以n^2+1也是正整数，所以n(n^2+1)是3的倍数。因此，n^3+n也是3的倍数。六、综合题6.2,6,18,54,162解析：等比数列的第n项公式是a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。根据题目，a1=2，q=3，所以第