备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）2-1 不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）（解析版）

备战2024年高考数学一轮复习（一隅三反基础版新高考专用）2-1不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（基础版）（解析版）一、选择题1.若实数a、b、c满足a+b+c=0，则下列不等式中成立的是（）A.a^2+b^2+c^2≥0B.ab+bc+ca≥0C.a^3+b^3+c^3≥0D.a^3b+b^3c+c^3a≥02.已知不等式x^2-2x-3>0，则x的取值范围是（）A.x<-1或x>3B.-1<x<3C.x<-1或x≤3D.x≥-1或x>3二、填空题3.若不等式x^2+2x+1≥0的解集为A，则不等式(x+1)^2≥0的解集为______。4.已知不等式ax^2+bx+c>0（a>0），则下列不等式中，一定成立的是______。A.(x-1)^2>0B.(x+1)^2>0C.(x-1)^2<0D.(x+1)^2<0三、解答题5.已知不等式x^2-3x+2<0，求x的取值范围。6.已知不等式ax^2+bx+c>0（a>0），且△=b^2-4ac>0，求证：x的取值范围为(-∞,x1)∪(x2,+∞)，其中x1、x2是方程ax^2+bx+c=0的两个实数根。四、应用题要求：运用不等式的性质和一元二次不等式的解法，解决实际问题。7.一批产品中，合格品的数量与不合格品的数量之比为3：1。为了提高产品质量，工厂决定采取一系列措施，使得合格品的数量增加10%，不合格品的数量减少20%。求经过这些措施后，合格品与不合格品数量的比。8.某班级共有60名学生，其中有x名男生，y名女生。已知男生人数与女生人数的比值为2：3，且男生人数加上女生人数等于班级总人数。求男生和女生各有多少人。五、证明题要求：运用不等式的性质和一元二次不等式的解法，证明给定的不等式。9.证明：对于任意实数a、b，若a+b>0，则a^2+b^2≥2ab。10.证明：若不等式x^2-4x+3>0，则x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)。六、综合题要求：结合不等式的性质和一元二次不等式的解法，解决综合性问题。11.已知不等式组\[\begin{cases}x^2-3x+2<0\\2x-1>0\end{cases}\]求x的取值范围。12.设函数f(x)=ax^2+bx+c（a>0），若f(x)在区间[-1,1]上的最大值为4，最小值为-2，求a、b、c的值。本次试卷答案如下：一、选择题1.A.a^2+b^2+c^2≥0解析：由柯西-施瓦茨不等式知，对于任意实数a、b、c，有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a+b+c)^2，即a^2+b^2+c^2≥0。2.A.x<-1或x>3解析：将不等式x^2-2x-3>0分解为(x-3)(x+1)>0，解得x<-1或x>3。二、填空题3.R解析：不等式(x+1)^2≥0对于所有实数x都成立，因为任何数的平方都大于等于0。4.B.(x+1)^2>0解析：由于a>0，不等式ax^2+bx+c>0的解集是x轴上的两个区间，而(x+1)^2>0表示x不等于-1，所以这个不等式在ax^2+bx+c>0的解集内总是成立的。三、解答题5.x的取值范围是(1,2)。解析：将不等式x^2-3x+2<0分解为(x-1)(x-2)<0，解得1<x<2。6.证明：由韦达定理知，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。因为△=b^2-4ac>0，所以x1和x2是实数，且x1≠x2。当x<x1时，ax^2+bx+c>0，因为a>0，所以x^2+(b/a)x+(c/a)>0，即x1-x<0，所以x<x1。当x>x2时，ax^2+bx+c>0，因为a>0，所以x^2+(b/a)x+(c/a)>0，即x-x2<0，所以x>x2。综上，x的取值范围为(-∞,x1)∪(x2,+∞)。四、应用题7.合格品与不合格品数量的比为7：3。解析：设合格品数量为3k，不合格品数量为k，则3k+k=60，解得k=12，所以合格品数量为36，不合格品数量为24。增加10%后合格品数量为39.6，减少20%后不合格品数量为19.2，比为39.6：19.2，化简得7：3。8.男生有24人，女生有36人。解析：由题意知，x+y=60，且x/y=2/3，解得x=24，y=36。五、证明题9.证明：因为a+b>0，所以a+b+2ab>0，即(a+1)^2+b^2>0，所以a^2+b^2≥2ab。10.证明：将不等式x^2-4x+3>0分解为(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3，所以x的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞)。六、综合题11.x的取值范围是(1,3)。解析：解不等式组\[\begin{cases}x^2-3x+2<0\\2x-1>0\end{cases}\]得到x的取值范围是(1,2)和(1/2,+∞)，取交集得(1,3)。12.a=1，b=-4，c=4。解析：由题意知，f(x)在[-1,1]上的最大值为4，