2025年湖北省武汉市高中一年级数学竞赛试卷（含答案）

2025年湖北省武汉市高中一年级数学竞赛试卷（含答案）一、选择题要求：请从每题的四个选项中选择一个正确答案。1.若函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(x)的图像是：A.顶点在(2,-1)的抛物线B.顶点在(2,3)的抛物线C.顶点在(0,3)的抛物线D.顶点在(0,-1)的抛物线2.若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，那么第10项a10的值是：A.21B.23C.25D.273.已知圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，那么该圆的半径是：A.1B.2C.3D.44.若函数f(x)=|x-1|+2，那么f(x)在x=1处的导数是：A.0B.1C.-1D.不存在5.若等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么第5项b5的值是：A.18B.24C.27D.30二、填空题要求：请将正确答案填入空格中。6.若函数f(x)=2x^3-3x^2+x，那么f(x)的图像的拐点是：A.(0,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,1)7.若等差数列{cn}的首项c1=5，公差d=-2，那么第6项c6的值是：A.-7B.-9C.-11D.-138.若函数f(x)=x^2-2x+1，那么f(x)的图像的对称轴是直线：A.x=0B.x=1C.x=2D.x=-19.若等比数列{dn}的首项d1=3，公比q=1/2，那么第4项d4的值是：A.3/16B.3/8C.3/4D.3/2三、解答题要求：请将解答过程写清楚，并给出最终答案。10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x，求f(x)的导数f'(x)。11.已知等差数列{en}的首项e1=4，公差d=3，求第10项e10的值。12.已知等比数列{fn}的首项f1=2，公比q=3/2，求第6项f6的值。四、证明题要求：证明下列命题的正确性。13.证明：对于任意实数x，都有(x+1)^2≥x^2+2x+1。14.证明：若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a>0。五、应用题要求：根据题意，列出方程组并求解。15.某商品的原价为x元，打八折后的价格为y元，若打折后的价格比原价少40元，求原价x和打折后的价格y。16.某班级有男生m人，女生n人，若男生人数是女生人数的1.5倍，且全班人数是25的倍数，求男生和女生的人数。六、综合题要求：综合运用所学知识解决问题。17.已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(x)的极值点和拐点。18.某工厂生产A、B两种产品，A产品每件利润为10元，B产品每件利润为15元。若生产A产品a件，B产品b件，总利润为150元，且生产A产品的数量是B产品数量的2倍，求A、B两种产品的生产数量。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：函数f(x)=x^2-4x+3是一个标准的二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线。抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a,f(-b/2a))求得，其中a是x^2的系数，b是x的系数。对于f(x)=x^2-4x+3，a=1，b=-4，所以顶点坐标是(2,f(2))。将x=2代入函数得f(2)=2^2-4*2+3=-1，所以顶点在(2,-1)。2.B解析：等差数列的第n项an可以通过公式an=a1+(n-1)d求得，其中a1是首项，d是公差，n是项数。对于{an}，a1=3，d=2，n=10，所以a10=3+(10-1)*2=3+18=21。3.C解析：圆的标准方程是(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)是圆心坐标，r是半径。给定的方程x^2+y^2-4x-6y+9=0可以通过完成平方转换为标准形式，即(x-2)^2+(y-3)^2=1^2，所以半径r=1。4.A解析：函数f(x)=|x-1|+2在x=1处的导数可以通过考虑函数在x=1两侧的导数来求解。由于|x-1|在x=1处连续，其导数在x=1处为0。5.C解析：等比数列的第n项an可以通过公式an=a1*q^(n-1)求得，其中a1是首项，q是公比，n是项数。对于{bn}，a1=2，q=3，n=5，所以b5=2*3^(5-1)=2*3^4=2*81=162。二、填空题6.B解析：拐点是抛物线的凹凸性发生变化的点，可以通过求二阶导数f''(x)并找到f''(x)=0的点来确定。对于f(x)=2x^3-3x^2+x，f'(x)=6x^2-6x+1，f''(x)=12x-6。令f''(x)=0得x=1/2，将x=1/2代入f(x)得f(1/2)=1/4-3/4+1/2=1/4，所以拐点是(1/2,1/4)。7.B解析：同第一题的解析，使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，对于{cn}，a1=5，d=-2，n=6，所以c6=5+(6-1)*(-2)=5-10=-5。8.B解析：对称轴可以通过求函数的顶点坐标来确定。对于f(x)=x^2-2x+1，这是一个完全平方的二次函数，其顶点坐标是(1,0)，所以对称轴是x=1。9.A解析：同第二题的解析，使用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，对于{dn}，a1=3，q=1/2，n=4，所以d4=3*(1/2)^3=3/8。三、解答题10.f'(x)=3x^2-6x+4解析：求导数时，对每一项应用幂的导数法则，得到f'(x)=3x^2-6x+4。11.e10=4+(10-1)*3=4+27=31解析：使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=4，d=3，n=10，得到e10的值。12.f6=2*(3/2)^5=2*243/32=243/16解析：使用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3/2，n=6，得到f6的值。四、证明题13.证明：对于任意实数x，有(x+1)^2=x^2+2x+1，所以(x+1)^2≥x^2+2x+1成立。解析：直接展开平方并简化，可以看出左边大于等于右边。14.证明：若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a>0。解析：函数的开口方向由二次项系数a决定，若a>0，则开口向上。五、应用题15.x=50,y=10解析：打八折后的价格是原价的80%，即0.8x，所以0.8x=x-40，解得x=50，进而得到y=0.8*50=40。16.m=15,n=10解析：根据题意，m=1.5n，且m+n=25k（k是正整数）。通过试错或代数方法，可以找到满足条件的m和n的值。六、综合题17.极值点：(1,4)，拐点：(1,4)解析：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，