高中数学高考~$14年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科【原卷版】

高中数学高考~$14年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科【原卷版】一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足$z^2+2z+5=0$，则$|z-1|$的值为（）（A）$2$（B）$3$（C）$\sqrt{5}$（D）$2\sqrt{5}$2.函数$f(x)=\lnx+ax-2$（$x>0$）在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）（A）$(-\infty,0)$（B）$(0,+\infty)$（C）$(-\infty,-1]$（D）$[-1,+\infty)$二、填空题要求：请将正确答案填入题目横线上。3.若复数$z$满足$\operatorname{Im}(z)=3$，则$|z|$的取值范围是__________。4.设$P(x)$是一个三次多项式，若$P(1)=P(2)=P(3)=0$，则$P(x)$在$x=4$处的值是__________。三、解答题要求：解答下列各题。5.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$。（1）求函数$f(x)$的极值；（2）求函数$f(x)$的零点；（3）证明：对于任意实数$x$，有$f(x)\geqf(\sqrt{3})$。6.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\lnx+ax-2$（$x>0$），其中$a$是常数。（1）求函数$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）若函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，求实数$a$的取值范围；（3）若函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上存在极值，求实数$a$的取值范围。四、解答题要求：解答下列各题。7.（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且对于任意$n\in\mathbb{N}^*$，有$a_{n+1}=a_n^2-a_n$。（1）证明数列$\{a_n\}$是单调递增的；（2）求出数列$\{a_n\}$的通项公式。五、解答题要求：解答下列各题。8.（本小题满分12分）已知函数$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$。（1）求函数$f(x)$的定义域；（2）求函数$f(x)$的导数$f'(x)$；（3）求函数$f(x)$的极值；（4）求函数$f(x)$的零点。六、解答题要求：解答下列各题。9.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(1,2)$，点B的坐标为$(4,6)$，点C的坐标为$(x,y)$。（1）求直线AB的方程；（2）若点C在直线AB上，求点C的坐标；（3）若点C在直线AB的垂线CD上，求直线CD的方程。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：D解析：由$z^2+2z+5=0$，得$z=-1\pm2i$，所以$|z-1|=\sqrt{(-1\pm2i-1)^2}=\sqrt{(-2\pm2i)^2}=2\sqrt{2}$。2.答案：D解析：函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，即$f'(x)\geq0$。$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，所以$a\geq-\frac{1}{x}$，对于任意$x>0$，$-\frac{1}{x}$的最大值为$0$，因此$a\geq0$。二、填空题3.答案：$|z|\geq3$解析：由复数$z=a+bi$，得$\operatorname{Im}(z)=b=3$，所以$|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+9}\geq3$。4.答案：$P(4)=0$解析：由$P(1)=P(2)=P(3)=0$，得$x-1$，$x-2$，$x-3$是$P(x)$的因式，因此$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$，所以$P(4)=(4-1)(4-2)(4-3)=6$。三、解答题5.（本小题满分12分）（1）答案：$f(x)$的极小值为$f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$，极大值为$f(1)=0$。解析：$f'(x)=3x^2-6x+3$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=\frac{1}{2}$。当$x<\frac{1}{2}$时，$f'(x)>0$；当$\frac{1}{2}<x<1$时，$f'(x)<0$；当$x>1$时，$f'(x)>0$。因此$x=\frac{1}{2}$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点。（2）答案：$f(x)$的零点为$x=1$。解析：由（1）知，$f(x)$在$x=1$处取得极小值，且$f(1)=0$，因此$x=1$是$f(x)$的零点。（3）答案：证明见解析。解析：由（1）知，$f(x)$在$x=\frac{1}{2}$处取得极大值，且$f(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$。对于任意实数$x$，$f(x)\geqf(\frac{1}{2})=-\frac{3}{8}$。6.（本小题满分12分）（1）答案：$f'(x)=\frac{1}{x}+a$。解析：由导数的定义，$f'(x)=\frac{d}{dx}(\lnx+ax-2)=\frac{1}{x}+a$。（2）答案：$a\geq0$。解析：由（1）知，$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，对于任意$x>0$，$f'(x)\geq0$，即$a\geq-\frac{1}{x}$。对于任意$x>0$，$-\frac{1}{x}$的最大值为$0$，因此$a\geq0$。（3）答案：$a\neq0$。解析：由（1）知，$f'(x)=\frac{1}{x}+a$，当$a=0$时，$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，不存在极值。当$a\neq0$时，$f'(x)=0$的解为$x=-\frac{1}{a}$，$f(x)$在$x=-\frac{1}{a}$处取得极值。四、解答题7.（本小题满分12分）（1）答案：证明见解析。解析：证明：由$a_1=1$，得$a_2=a_1^2-a_1=1^2-1=0$，$a_3=a_2^2-a_2=0^2-0=0$，$a_4=a_3^2-a_3=0^2-0=0$，以此类推，对于任意$n\in\mathbb{N}^*$，$a_{n+1}=a_n^2-a_n$。假设对于某个$k\in\mathbb{N}^*$，$a_k>a_{k-1}$，则$a_{k+1}=a_k^2-a_k>a_{k-1}^2-a_{k-1}=a_k$，因此数列$\{a_n\}$是单调递增的。（2）答案：$a_n=0$。解析：由（1）知，数列$\{a_n\}$是单调递增的，且$a_1=1$，$a_2=a_1^2-a_1=0$，$a_3=a_2^2-a_2=0$，以此类推，对于任意$n\in\mathbb{N}^*$，$a_n=0$。五、解答题8.（本小题满分12分）（1）答案：$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq1\}$。解析：由$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}$，得$x-1$是$f(x)$的因式，因此$x=1$不是$f(x)$的定义域。（2）答案：$f'(x)=\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$。解析：由导数的定义，$f'(x)=\frac{d}{dx}(\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1})=\frac{(x^3-3x^2+3x-1)'(x-1)-(x^3-3x^2+3x-1)(x-1)'}{(x-1)^2}$。（3）答案：$f(x)$的极值点为$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，极小值为$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2})=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。解析：由（2）知，$f'(x)=\frac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$，令$f'(x)=0$，得$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。当$x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，$f'(x)>0$；当$x>\frac{1+\sqrt{3}}{2}$时，$f'(x)<0$。因此$x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$是$f(x)$的极小值点，$f(\frac{1+\sqrt{3}}{2})=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。（4）答案：$f(x)$的零点为$x=1$。解析：由（3）知，$f(x)$在$x=1$处取得极小值，且$f(1)=0$，因此$x=1$是$f(x)$的零点。六、解答题9.（本小题满分12分）（1）答案：直线AB的方程为$y-2=\frac{4}{3}(x-1)$，即$4x-3y+2=0$。解析：由点A和点B的坐标，得直线AB的斜率为$\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$，因此直线AB的方程为$y-2=\frac{4}{3}(x-1)$。（2）答案：点C的坐标为$(4,6)$。解析：由直线AB的方程$4x-3y+2=0$，代入点C的坐标$(x,y)$，得$4x-3y+2=0$，解得$x=4$，$y=6$，因