高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直习题

高中数学人教A版(2019)必修第二册8.6空间直线、平面的垂直习题一、选择题要求：在下列各题中，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，则直线AB的方向向量是：A.(3,3,3)B.(3,3,-3)C.(3,-3,3)D.(3,-3,-3)2.在空间直角坐标系中，已知直线l过点P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，则直线l的方程是：A.x+y+z=6B.x-y-z=6C.x+y-z=6D.x-y+z=63.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l与平面α的交点坐标是：A.(1,4,5)B.(2,5,6)C.(3,6,7)D.(4,7,8)4.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l在平面α上的投影方程是：A.x=2t+1B.y=3t+4C.z=t+5D.x=2t+1，y=3t+45.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l与平面α所成的角θ满足：A.θ=π/4B.θ=π/3C.θ=π/2D.θ=π二、填空题要求：将正确答案填入空格中。6.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，B(4,5,6)，则直线AB的长度为______。7.在空间直角坐标系中，已知直线l过点P(1,2,3)且垂直于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，则直线l的方程为______。8.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l与平面α的交点坐标为______。9.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l在平面α上的投影方程为______。10.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，则直线l与平面α所成的角θ为______。四、解答题要求：解下列各题。11.已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)，求证：直线AB和直线BC垂直。12.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直线l与平面x+y+z=10的交点坐标。五、证明题要求：证明下列各题。13.证明：若直线l垂直于平面α，则直线l上的任意一点到平面α的距离相等。14.证明：若两条直线分别垂直于两个互相垂直的平面，则这两条直线互相垂直。六、应用题要求：解决下列实际问题。15.在空间直角坐标系中，已知直线l过点P(1,2,3)且平行于平面α，平面α的法向量是n=(1,2,3)，求直线l的方程。16.在空间直角坐标系中，已知直线l的方程为x=2t+1，y=3t+4，z=t+5，求直线l与平面x+y+z=10所成的角θ的正弦值。本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：B解析：直线AB的方向向量为B点坐标减去A点坐标，即(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3)，由于方向向量可以是任意非零倍数，所以选B。2.答案：D解析：直线l垂直于平面α，其方向向量与平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直线l的方程可以表示为x-y+z=常数。由于直线l过点P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直线l的方程为x-y+z=2，即D选项。3.答案：C解析：将直线l的参数方程代入平面α的方程x+y+z=10中，得到2t+1+3t+4+t+5=10，解得t=1，代入直线l的参数方程得到交点坐标为(2,5,6)，即C选项。4.答案：A解析：直线l在平面α上的投影方程与直线l的方程相同，因为投影不改变直线在投影平面上的方向，所以选A。5.答案：B解析：直线l与平面α所成的角θ是直线l的方向向量与平面α的法向量之间的夹角。由于直线l的方向向量为(2,3,1)，平面α的法向量为(1,2,3)，两向量的夹角余弦值为(2*1+3*2+1*3)/(√(2^2+3^2+1^2)*√(1^2+2^2+3^2))=13/(√14*√14)=13/14，所以θ=π/3，即B选项。二、填空题6.答案：√29解析：直线AB的长度为两点间距离公式计算，即√[(4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2]=√(3^2+3^2+3^2)=√(9+9+9)=√27=3√3=√29。7.答案：x-y+z=2解析：直线l垂直于平面α，其方向向量与平面α的法向量n=(1,2,3)平行，因此直线l的方程可以表示为x-y+z=常数。由于直线l过点P(1,2,3)，代入得1-2+3=2，所以直线l的方程为x-y+z=2。8.答案：(2,5,6)解析：与选择题第3题解析相同。9.答案：x=2t+1解析：与选择题第4题解析相同。10.答案：π/3解析：与选择题第5题解析相同。四、解答题11.答案：证明过程略。解析：使用向量积（叉积）判断两条直线是否垂直，即计算向量AB和向量BC的叉积，如果叉积为零向量，则两直线垂直。12.答案：交点坐标为(2,5,6)解析：将直线l的参数方程代入平面α的方程x+y+z=10中，解出参数t，然后代入直线l的参数方程得到交点坐标。五、证明题13.答案：证明过程略。解析：利用直线与平面垂直的性质，直线上的任意点到平面的距离等于直线上的点到平面的垂线段的长度，由于垂线段长度相等，所以距离相等。14.答案：证明过程略。解析：利用直线与平面垂直的性质，以及平面之间的垂直关系，推导出两条直线之间的垂直关系。六、应用题15.答案：直线l的方程为x-y+z=5解析：直线l平行于平面α，其方向向量与平面α的法向量n=(1,2,3)垂直，因此直线l的方向向量可以表示为(2,1,-1)。由于直线l过点P(1,2,3)，代入得2*1+1*2-1*3=2，所以直线l的方程为x-y+z=2，即x-y+z=5。16.答案：sinθ=√2/2解析：直线l与平面α所成