2024年高考数学一轮复习讲练测专题3.3利用导数研究函数的极值最值讲文含解析

PAGEPAGE1专题3.3利用导数探讨函数的极值、最值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、微小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。学问点1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.学问点2.函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0旁边的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0旁边的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为微小值极值点x0为极大值点x0为微小值点学问点3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特殊提示】1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应留意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，须要分类探讨，不行想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与微小值之间没有必定的大小关系.考点一利用导数解决函数的极值【典例1】(2024·哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的极值；【解析】当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝lnx－eq\f(1,2)x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x)，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x改变时，f′(x)，f(x)的改变状况如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln2－1，无微小值。【方法技巧】由图象推断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点。【变式1】(2024·河北衡水深州中学测试)探讨函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－a＝eq\f(1－ax,x)(x>0).当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a>0时，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)<0，故函数在x＝eq\f(1,a)处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝eq\f(1,a).考点二已知函数的极(最)值求参数的取值范围【典例2】(2024·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；②若f(x)在x＝2处取得微小值，求a的取值范围.【解析】①因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)＝(1－a)e.由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.②f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.若a>eq\f(1,2)，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，2))时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在x＝2处取得微小值.若a≤eq\f(1,2)，则当x∈(0，2)时，x－2<0，ax－1≤eq\f(1,2)x－1<0，所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的微小值点.综上可知，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要留意：(1)依据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必需检验.【变式2】(2024·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的微小值为()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.1【答案】A【解析】f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x<－2或x>1时，f′(x)>0，当－2<x<1时，f′(x)<0，所以x＝1是函数f(x)的微小值点，则f(x)微小值为f(1)＝－1.考点三利用导数探讨函数的最值【典例3】(2024·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．【答案】－eq\f(3\r(3),2)【解析】f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx＜eq\f(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当cosx＞eq\f(1,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴当cosx＝eq\f(1,2)，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－eq\f(\r(3),2)时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))＝－eq\f(3\r(3),2).【方法技巧】求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类探讨，推断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．【变式3】(2024·广东广雅中学模拟)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，x∈(0，e]，eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).①若a≥－eq\f(1,e)，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意.②若a<－eq\f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq\f(1,x)>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－eq\f(1,a)；令f′(x)<0得a＋eq\f(1,x)<0，结合x∈(0，e]，解得－eq\f(1,a)<x≤e.从而f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上为增函数，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上为减函数，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).令－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2，即a＝－e2.∵－e2<－eq\f(1,e)，∴a＝－e2为所求.故实数a的值为－e2.考点四利用导数求解最优化问题【典例4】(2024·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长改变时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______.【答案】4eq\r(15)【解析】由题意，连接OD，交BC与点G，由题意，OD⊥BC，设OG＝x，则BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝eq\f(1,2)·(2eq\r(3)x)2·sin60°＝3eq\r(3)x2，则三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5)，令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，则f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴体积最大值为4eq\r(15)cm3.【方法技巧】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回来实际问题作答.2.假如目标函数在定义域内只有一个极值点，那么依据实际意义该极值点就是最值点.【变式4】（2024·山东菏泽一中质量检测）传闻中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时恒久保持为圆柱体，其底面半径原为12cm且以每秒1cm等速率缩短，而长度以每秒20cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12cm缩到4cm，且知在这段变形过程中，当底面半径为10cm时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________cm.【答案】4【解析】设神针原来的长度为acm，t秒时神针的体积为V(t)cm3，则V(t)＝π(12－t)2·(a＋20t)，其中0≤t≤8，