2025版高考数学一轮复习课后限时集训11函数与方程理含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(十一)函数与方程(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))C．(2,3) D．(3,4)C[∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)－4＝－eq\f(9,2)＜0，f(1)＝0＋1－4＝－3＜0，f(2)＝1＋2－4＝－1＜0，f(3)＝log23＋3－4＝log23－1＞0，f(4)＝2＋4－4＝2＞0，∴f(2)·f(3)＜0，∴f(x)在(2,3)内有零点，故选C.]2．(2024·黄山一模)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，－1)B[方程f(x)＝k可化为e|x|＝k－|x|，由题意可知，函数y＝e|x|与y＝k－|x|的图像有两个不同的交点，如图，故只需k＞1即可，故选 B．]3．若方程lnx＋x－5＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一实根，则a的值为()A．5 B．4C．3 D．2C[设函数f(x)＝lnx＋x－5(x＞0)，则f′(x)＝eq\f(1,x)＋1＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上递增．因为f(3)·f(4)＝(ln3＋3－5)(ln4＋4－5)＝(ln3－2)(ln4－1)＜0，故函数f(x)在区间(3,4)上有一零点，即方程lnx＋x－5＝0在区间(3,4)上有一实根，所以a＝3.]4．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()A．0 B．－eq\f(1,4)C．0或－eq\f(1,4) D．2C[当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根，∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).综上，当a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数仅有一个零点．]5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋1，x≤1，,lnx，x＞1，))若方程f(x)－ax＝0恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,e)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(4,3)))D．(－∞，0]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))B[方程f(x)－ax＝0有两个不同的实根，即直线y＝ax与函数f(x)的图像有两个不同的交点．作出函数f(x)的图像如图所示．当x＞1时，f(x)＝lnx，得f′(x)＝eq\f(1,x)，设直线y＝kx与函数f(x)＝lnx(x＞1)的图像相切，切点为(x0，y0)，则eq\f(y0,x0)＝eq\f(lnx0,x0)＝eq\f(1,x0)，解得x0＝e，则k＝eq\f(1,e)，即y＝eq\f(1,e)x是函数f(x)＝lnx(x＞1)的图像的切线，当a≤0时，直线y＝ax与函数f(x)的图像有一个交点，不合题意；当0＜a＜eq\f(1,3)时，直线y＝ax与函数f(x)＝lnx(x＞1)的图像有两个交点，但与射线y＝eq\f(1,3)x＋1(x≤1)也有一个交点，这样就有三个交点，不合题意；当a≥eq\f(1,e)时，直线y＝ax与函数f(x)的图像至多有一个交点，不合题意；只有当eq\f(1,3)≤a＜eq\f(1,e)时，直线y＝ax与函数f(x)的图像有两个交点，符合题意．故选 B．]二、填空题6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．(－∞，1)[设函数f(x)＝x2＋mx－6，则依据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0＜x＜4，,－\f(1,2)x＋6，x≥4，))若方程f(x)＋k＝0有三个不同的解a，b，c，且a＜b＜c，则ab＋c的取值范围是________．(9,13)[依据已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log2x|，0＜x＜4，,－\f(1,2)x＋6，x≥4，))画出函数图像如图，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，所以－log2a＝log2b＝－eq\f(1,2)c＋6，所以log2(ab)＝0,0＜－eq\f(1,2)c＋6＜2，解得ab＝1,8＜c＜12，所以9＜ab＋c＜13.]8．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．(0,2)[由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝ B．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示，则当0<b<2时，两函数图像有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．]三、解答题9．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.假如函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．[解]f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－eq\f(1,2a).①当－eq\f(1,2a)≤－1，即0＜a≤eq\f(1,2)时，需使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤5，,a≥1，))∴无解．②当－1＜－eq\f(1,2a)＜0，即a＞eq\f(1,2)时，须使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)))≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－3－a≤0，,a≥1，))解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．10．设函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x＞0)．(1)作出函数f(x)的图像；(2)当0＜a＜b且f(a)＝f(b)时，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．[解](1)如图所示．(2)∵f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2.(3)由函数f(x)的图像可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．B组实力提升1．(2024·济南一模)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))D[法一：当feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(3)＜0时，函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且仅有一个零点，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(a,2)))(10－3a)＜0，解得eq\f(5,2)＜a＜eq\f(10,3)；当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＜\f(a,2)＜3，,Δ＝a2－4≥0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞0，,f3＞0))时，函数在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有一个或两个零点，解得2≤a＜eq\f(5,2)；当a＝eq\f(5,2)时，函数的零点为eq\f(1,2)和2，符合题意；当a＝eq\f(10,3)时，函数的零点为eq\f(1,3)或3，不符合题意．综上，a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，故选 D．法二：由x2－ax＋1＝0得ax＝x2＋1，∴a＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，令g(x)＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，易知g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上递减，在[1,3)上递增，∴g(x)min＝g(1)＝2.又∵geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，g(3)＝eq\f(10,3)，∴g(x)max＝eq\f(10,3)，∴a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).]2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为()A．－2 B．1C．2 D．3C[作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x＞0，,2|x|，x≤0))的图像(图略)，令f(x)＝t，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0等价于t2－at＋1＝0，因为t1·t2＝1，所以t1，t2同号，只有t1，t2同正时，方程才有根，假设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2＞1，此时关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有5个不同的根，只有t1＝t2＝1，关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，此时a＝2，故选C.]3．(2024·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________．－eq\f(7,8)[令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)．因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).]4．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝eq\f(fx,x)－4lnx的零点个数．[解](1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)因为g