2025版高考数学二轮复习中档大题保分练1VIP

PAGEPAGE1中档大题保分练(01)(满分：46分时间：50分钟)说明：本大题共4小题，其中第1题可从A、B两题中任选一题；第4题可从A、B两题中任选一题.共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(A)(12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB．(1)求角A的大小；(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c．解：(1)在△ABC中，∵eq\f(\r(3)c,acosB)＝tanA＋tanB，∴eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)．即eq\f(\r(3)sinC,sinAcosB)＝eq\f(sinAcosB＋sinBcosA,cosAcosB)，∴eq\f(\r(3),sinA)＝eq\f(1,cosA).则tanA＝eq\r(3)，∴A＝eq\f(π,3)．(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7，得cos∠BDC＝eq\f(25＋9－49,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴∠BDC＝eq\f(2π,3)，又∵A＝eq\f(π,3)，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5．1．(B)(12分)已知等比数列{an}中，an＞0，a1＝4，eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an＋2)，n∈N*．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝(－1)n·(log2an)2，求数列{bn}的前2n项和T2n．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，因为eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an＋2)，所以eq\f(1,a1qn－1)－eq\f(1,a1qn)＝eq\f(2,a1qn＋1)，因为q＞0，解得q＝2，所以an＝4×2n－1＝2n＋1，n∈N*．(2)bn＝(－1)n·(log2an)2＝(－1)n·(log22n＋1)2＝(－1)n·(n＋1)2，设cn＝n＋1，则bn＝(－1)n·(cn)2，T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝－(c1)2＋(c2)2＋[－(c3)2]＋(c4)2＋…＋[－(c2n－1)2]＋(c2n)2＝(－c1＋c2)(c1＋c2)＋(－c3＋c4)(c3＋c4)＋…＋(－c2n－1＋c2n)(c2n－1＋c2n)＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c2n－1＋c2n＝eq\f(2n[2＋2n＋1],2)＝n(2n＋3)＝2n2＋3n．2．(12分)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝6，AA1＝2eq\r(3)，点E在棱BC上，CE＝2，点F为棱C1D1的中点，过E，F的平面α与棱A1D1交于G，与棱AB交于H，且四边形EFGH为菱形．(1)证明：平面A1C1E⊥平面BDD1B1；(2)确定点G，H的详细位置(不需说明理由)，并求四棱锥B­EFGH的体积．(1)证明：在矩形A1B1C1D1中，∵AB＝AD，∴A1B1＝A1D1，∴A1C1⊥B1D1．又BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1．∵BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1．又A1C1⊂平面A1C1E，∴平面A1C1E⊥平面BDD1B1．(2)解：G为棱A1D1上靠近A1的三等分点，H为棱AB的中点，HB＝3，BE＝4，所以△HBE的面积S△HBE＝eq\f(1,2)×HB×BE＝eq\f(1,2)×4×3＝6．于是四棱锥B­EFGH的体积VB­EFGH＝2VB­EFH＝2VF­BEH＝2×eq\f(1,3)×S△HBE×BB1＝2×eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3)．3．(12分)2024年2月22日，在平昌冬奥会短道速滑男子500米竞赛中．中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创建中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破．某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间状况．收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据(单位：小时)．又在100位女生中随机抽取20个人．已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.(1)将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，完成频率分布直方图；(2)以(1)中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以(1)中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数．已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人．请完成下面的列联表，并推断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)．解：(1)由题意知样本容量为20，频率分布表如下：分组频数频率eq\f(频率,组距)[0,5)1eq\f(1,20)0.01[5,10)1eq\f(1,20)0.01[10,15)4eq\f(1,5)0.04[15,20)2eq\f(1,10)0.02[20,25)4eq\f(1,5)0.04[25,30)3eq\f(3,20)0.03[30,35)3eq\f(3,20)0.03[35,40]2eq\f(1,10)0.02合计2010.20 频率分布直方图为：(2)因为(1)中[30,40]的频率为eq\f(3,20)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,4)，所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为eq\f(1,4)．(3)因为(1)中[0,20)的频率为eq\f(2,5)，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是100×eq\f(2,5)＝40.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时504090累计观看时间不小于20小时15060210总计200100300结合列联表可算得K2＝eq\f(300×50×60－150×402,200×100×210×90)＝eq\f(50,7)≈7.143＞6.635，所以，有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”．4．(A)(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5)t，,y＝2＋\f(\r(5),5)t))(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|．解：(1)因为ρcos2θ＝8sinθ，所以ρ2cos2θ＝8ρsinθ，即x2＝8y，所以曲线C表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y轴的抛物线．(2)直线l过抛物线的焦点(0,2)，且参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2\r(5),5)t，,y＝2＋\f(\r(5),5)t))(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程，得t2－2eq\r(5)t－20＝0，所以t1＋t2＝2eq\r(5)，t1t2＝－20．所以|MN|＝|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝10．4．(B)(10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－5|－|x＋3|．(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)记函数f(x)的最大值为m，若a＞0，b＞0，ea·e4b＝e4ab－m，求ab的最小值．解：(1)当x≤－3时，由5－x＋x＋3≥x＋1，得x≤7，所以x≤－3；当－3＜x＜5时，由5－x－x－3≥x＋1，得x≤eq\f(1,3)，所以－3＜x≤eq\f(1,3)；当x≥5时，由x－5－x－3≥x＋1，得x≤－9，无解．综上可知，x≤eq\f(1,3)，即不等式f(x)≥x＋1的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))．(2)因为|x－5|－|x＋3|≤|x－5－x－3|＝8，所以函数f(x)的