2024-2025学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程2-3双曲线的参数方程抛物线的参数方程讲义含解析新人教A版选修4-4

PAGE3双曲线的参数方程抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ，))规定参数φ的取值范围为[0,2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f(3π,2).(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝btanφ，,y＝asecφ.))2．抛物线的参数方程(1)抛物线y2＝2px的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))t∈R.(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的随意一点与原点连线的斜率的倒数．双曲线、抛物线参数方程的基本问题[例1](1)双曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)tanα，,y＝6secα))(α为参数)的焦点坐标是________．(2)将方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tant，,y＝\f(1－cos2t,1＋cos2t)))化为一般方程是________．[思路点拨](1)可先将方程化为一般方程求解；(2)利用代入法消去t.[解析](1)将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)tanα，,y＝6secα))化为eq\f(y2,36)－eq\f(x2,12)＝1，可知双曲线焦点在y轴上，且c＝eq\r(36＋12)＝4eq\r(3)，故焦点坐标是(0，±4eq\r(3))．(2)由y＝eq\f(1－cos2t,1＋cos2t)＝eq\f(2sin2t,2cos2t)＝tan2t，将tant＝x代入上式，得y＝x2即为所求方程．[答案](1)(0，±4eq\r(3))(2)y＝x2(1)解决此类问题要娴熟驾驭双曲线与抛物线的参数方程，特殊是将参数方程化为一般方程，还要明确参数的意义．(2)对双曲线的参数方程，假如x对应的参数形式是secφ，则焦点在x轴上；假如y对应的参数形式是secφ，则焦点在y轴上．1．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t为参数)上，则|PF|等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C抛物线的一般方程为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.2．假如双曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝secθ，,y＝6tanθ))(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或6双曲线、抛物线参数方程的应用[例2]设直线AB过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的随意一点．求证：直线PA，PB斜率的乘积为定值．[思路点拨]先用双曲线的参数方程表示点A，B，P的坐标，再证kPA·kPB＝定值．[证明]如图所示，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosα)，btanα))，Aeq\f(a,cosθ)，btanθ.∵直线AB过原点O，∴A，B两点的坐标关于原点对称，则Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,cosθ)，－btanθ))，故kPA·kPB＝eq\f(b(tanα－tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosα)－\f(1,cosθ))))·eq\f(b(tanα＋tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosα)＋\f(1,cosθ))))＝eq\f(b2(tan2α－tan2θ),a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cos2α)－\f(1,cos2θ))))＝eq\f(b2(sin2αcos2θ－cos2αsin2θ),a2(cos2θ－cos2α))＝eq\f(b2[(1－cos2α)cos2θ－cos2α(1－cos2θ)],a2(cos2θ－cos2α))＝eq\f(b2,a2)，为定值．在求曲线的轨迹和探讨曲线及方程的相关问题时，常依据须要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可依据曲线的参数方程表示点的坐标．3．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：法一：设抛物线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))(t为参数)，可设M(8teq\o\al(2,1)，8t1)，N(8teq\o\al(2,2)，8t2)，则kMN＝eq\f(8t2－8t1,8t\o\al(2,2)－8t\o\al(2,1))＝eq\f(1,t1＋t2).又设MN的中点为P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t\o\al(2,1)＋8t\o\al(2,2),2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))∴kAP＝eq\f(4(t1＋t2),4(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2))－1)，由kMN＝kAP，知t1·t2＝－eq\f(1,8)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2))，,y＝4(t1＋t2)，))则y2＝16(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2)＋2t1t2)＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(1,4)))＝4(x－1)．∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，,y\o\al(2,2)＝8x2，))两式相减得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2).设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.由kPA＝eq\f(y,x－1)，又kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(4,y)，∴eq\f(y,x－1)＝eq\f(4,y).∴y2＝4(x－1)．∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．一、选择题1．曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2－1，,y＝2t＋1))(t为参数)的焦点坐标是()A．(1,0) B．(0,1)C．(－1,0) D．(0，－1)解析：选B将参数方程化为一般方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．2．已知抛物线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t为参数，p>0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1＋t2＝0，则|AB|等于()A．2p(t1－t2) B．2p(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2))C．2p|t1－t2| D．2p(t1－t2)2解析：选C因为x1＝2pteq\o\al(2,1)，x2＝2pteq\o\al(2,2)，所以x1－x2＝2p(teq\o\al(2,1)－teq\o\al(2,2))＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因为y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.故选C.3．方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,y＝et－e－t))(t为参数)的图形是()A．双曲线左支 B．双曲线右支C．双曲线上支 D．双曲线下支解析：选B∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2eq\r(et·e－t)＝2.∴表示双曲线的右支．4．P为双曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4secθ，,y＝3tanθ))(θ为参数)上随意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：选A由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5,0)，F2(5,0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝eq\f(－5＋5＋4secθ,3)＝eq\f(4,3)secθ，y＝eq\f(0＋0＋3tanθ,3)＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．二、填空题5．曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t－2，,y＝t2－1))(t为参数)与x轴的交点坐标是________．解析：将曲线的参数方程化为一般方程为(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5，故交点坐标为(1,0)，(－5,0)．答案：(1,0)，(－5,0)6．双曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)tanθ，,y＝secθ))(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y2－eq\f(x2,3)＝1，此时a＝1，b＝eq\r(3)，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±eq\f(1,\r(3))＝±eq\f(\r(3),3).∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．点P(1,0)到曲线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t为参数)上的点的最短距离为________．解析：设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，则d＝eq\r((x－1)2＋(y－0)2)＝eq\r((t2－1)2＋(2t)2)＝eq\r((t2＋1)2)＝t2＋1≥1.所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.答案：1三、解答题8．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，双曲线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝secθ，,y＝tanθ.))则(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋eq\r(2))2＋tan2θ]·[(secθ－eq\r(2))2＋tan2θ]＝(sec2θ＋2eq\r(2)secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－2eq\r(2)secθ＋2＋tan2θ)＝(eq\r(2)secθ＋1)2(eq\r(2)secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.9．求点P(0,1)到双曲线x2－y2＝4的最小距离．解：设双曲线x2－y2＝4上任一点坐标为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosφ)，2tanφ))，则|PM|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosφ)))2＋(2tanφ－1)2＝4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tanφ＋1＝8tan2φ－4tanφ＋5＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ－\f(1,4)))2＋eq\f(9,2).则当tanφ＝eq\f(1,4)时，|PM|eq\o\al(2,min)＝eq\f(9,2).所以|PM|min＝eq\f(3\r(2),2)，即点P到双曲线的最小距离为eq\f(3\r(2),2).10.如图，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？解：依据题意，设点A，B的坐标分别为(2pteq\o\al(2,1)，2pt1)，(2pteq\o\al(2