2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE12.3.2抛物线的简洁几何性质预习课本P60～63，思索并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？eq\a\vs4\al([新知初探])抛物线的简洁几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[点睛]抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y2＝ax一次项为x项，x轴为对称轴a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左x2＝ay一次项为y项，y轴为对称轴a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下eq\a\vs4\al([小试身手])1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线y＝－eq\f(1,8)x2的准线方程是x＝eq\f(1,32)()答案：(1)√(2)×2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为()A．2 B．0C．2或0 D．－2或2答案：B3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8 B．16C．32 D．64答案：B4．若双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.答案：4抛物线方程及其几何性质[典例]已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq\r(3)，求抛物线的方程．[解]设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，eq\r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq\r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.用待定系数法求抛物线方程的步骤[留意]求抛物线的方程时要留意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．[活学活用]1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：选C设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故选C.2．已知点M(x，y)在抛物线y2＝8x上，则f(x，y)＝x2－y2＋12x＋9的取值范围为________．解析：f(x，y)＝x2－8x＋12x＋9＝(x＋2)2＋5，又x∈[0，＋∞)，所以当x＝0时，f(x，y)取得最小值9.所以f(x，y)的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)焦点弦问题[典例]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．[解]由于抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可设直线AB的方程为x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ为直线AB的倾斜角)；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，明显通径长等于2p.[活学活用]1．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5 B．6C．8 D．10解析：选C由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.2．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq\f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直线l的方程为y＝x－eq\f(p,2).设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.直线与抛物线的位置关系[典例]若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.[证明]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4，))消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→))，即OA⊥OB.将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．解：明显，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝kx＋3，,y2＝4x，))消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满意条件．(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,16－4k8＋12k＝0，))得k＝eq\f(1,3)或k＝－1.所以直线方程为y－2＝eq\f(1,3)(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.层级一学业水平达标1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.2．若直线y＝2x＋eq\f(p,2)与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p解析：选B将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直线过抛物线的焦点，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝10p.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2eq\r(2)) B．(1，±2)C．(1,2) D．(2,2eq\r(2))解析：选B设A(x，y)，则y2＝4x，①又eq\o(OA,\s\up7(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.∴|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋416－4)＝eq\r(5×12)＝2eq\r(15).5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)解析：选D易知抛物线中p＝eq\f(3,2)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3，∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq\f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2).答案：eq\f(\r(7),2)8．已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．解析：设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，解得y0＝eq\f(15,8).答案：eq\f(15,8)9．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，直线l：x＝eq\f(a,2)，∴A，B两点坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，∴|AB|＝2|a|.∵△OAB的面积为4，∴eq\f(1,2)·eq\f(a,2)·2|a|＝4，∴a＝±2eq\r(2).∴抛物线方程为y2＝±4eq\r(2)x.10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x))得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.层级二应试实力达标1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选B可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有两条C．有无穷多条 D．不存在解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B.3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：选B易知抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，则k＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2解析：选D由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4k2＋2,k2)，,x1x2＝4.))①由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝kx1－2，,y2＝kx2－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝kx1＋x2－4k，②,y1y2＝k2[x1x2－2x1＋x2＋4].③))∵eq\o(MA,\s\up7(→))·eq\o(MB,\s\up7(→))＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④由①②③④解得k＝2.故选D项．5．已知抛物线y2＝eq\f(1,2)x，则弦长为定值1的焦点弦有________条．解析：因为通径的长2p为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a，若a>2p，则焦点弦存在两条；若a＝2p，则焦点弦存在一条；若a<2p，则焦点弦不存在．由y2＝eq\f(1,2)x知p＝eq\f(1,4)，则通径长2p＝eq\f(1,2)，因为1>eq\f(1,2)，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：26．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝6.))所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝eq\f(10＋2,2)×8＝48.答案：487．设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq\f(1,2).(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(6)，求实数k的值．解：(1)过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，由题意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y＋eq\f(1,2)，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝eq\f(5,4)|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝eq\f(8,p).所以|PQ|＝eq\f(8,p)，|QF|＝eq\f(p,2)＋x0＝eq\f(p,2)＋eq\f(8,p).由题设得eq\f(p,2)＋eq\f(8,p)＝eq\f(5,4)×eq\f(8,p)，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝eq\r(m2＋1)|y1－y2|＝eq\r(m2＋1)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－eq\f(1,m)y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋eq\f(4,m)y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－eq\f(4,m)，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋2m2＋3，－\f(2,m)))，|MN|＝eq\r(1＋\f(1,m2))|y3－y4|＝eq\r(1＋\f(1,m2))·eq\r(y3＋y42－4y3y4)＝eq\f(4m2＋1\r(2m2＋1),m2).由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝eq\f(1,2)|MN|，从而eq\f(1,4)|AB|2＋|DE|2＝eq\f(1,4)|MN|2，即4(m2＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m＋\f(2,m)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m2)＋2))2＝eq\f(4m2＋122m2＋1,m4).化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2024·浙江高考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的离心率是()A.eq\f(\r(13),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,9)解析：选B依据题意知，a＝3，b＝2，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(5)，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).2．θ是随意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不行能是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆解析：选C由于θ∈R，对sinθ的值举例代入推断．sinθ可以等于1，这时曲线表示圆，sinθ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sinθ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：选A∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝eq\r(3).∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.4．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析：选C∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，则C的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.5．设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．8解析：选C双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.6．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线y＝kx－k恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．7．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在双曲线上，则eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：选C由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取点P(eq\r(3)，1)，则eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(2－eq\r(3)，－1)．∴eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.8．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2))) B．(eq\r(2)，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)解析：选D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0⇒a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0⇒a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，则a2＝eq\f(1,e2－1)，从而e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq\r(2)，＋∞)．9．已知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))，则动点P的轨迹方程是()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)＋y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,9)＝1解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝eq\f(1,3)(0，y0)＋eq\f(2,3)(x0,0)，即x＝eq\f(2,3)x0，y＝eq\f(1,3)y0，所以x0＝eq\f(3,2)x，y0＝3y.因为|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝9，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y解析：选C假如设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求抛物线方程为y2＝eq\f(45,2)x.虽然选项中没有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合题意．11.我们把离心率为黄金分割系数eq\f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF＝()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：选A设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，则eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－c，－b)，eq\o(BA,\s\up7(→))＝(a，－b)．∵离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴c＝eq\f(\r(5)－1,2)a，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)a))2)＝eq\r(\f(\r(5)－1,2))a，∴eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(2\r(2),3)解析：选D将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1),B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8－4k2,k2)，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得xeq\o\al(2,2)＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，eq\f(8－4k2,k2)＝5，解得k2＝eq\f(8,9)，又因为k>0，所以k＝eq\f(2\r(2),3).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝114．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq\f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线x＝eq\f(1,4)y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2－eq\f(5,4)y2＝1.答案：5x2－eq\f(5,4)y2＝115．已知二次曲线eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m∈[－2，－1]，∴曲线方程化为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，曲线为双曲线，∴e＝eq\f(\r(4－m),2).∵m∈[－2，－1]，∴eq\f(\r(5),2)≤e≤eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(5),2)，eq\f(\r(6),2)16．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|，易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋eq\r(6－32＋42)＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，∵点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在抛物线上，∴6＝2p×eq\f(3,2).∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝1，,\f(9,4a2)－\f(6,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4)，,b2＝\f(3,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝－8))(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－eq\f(4,3)y2＝1.18．(本小题满分12分)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直线l：y＝eq\f(3,2)x＋m，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．∵直线l与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求实数m的取值范围为[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得：x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为eq\r(26).19．(本小题满分12分)双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为eq\f(π,2)，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝eq\r(3)，若直线l的斜率存在，且(eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，求l的斜率．解：(1)设A(xA，yA)．由题意得F2(c,0)，c＝eq\r(1＋b2)，yeq\o\al(2,A)＝b2(c2－1)＝b4，因为△F1AB是等边三角形，所以2c＝eq\r(3)|yA|，即4(1＋b2)＝3b4，解得b2＝2.故双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.(2)由题意知F1(－2,0)，F2(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－2)，明显k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1，,y＝kx－2))得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.因为l与双曲线交于两点，所以k2－3≠0，且Δ＝36(1＋k2)>0.设AB的中点为M(xM，yM)．由(eq\o(F1A,\s\up7(→))eq\o(F1A,\s\up7(→))＋eq\o(F1B,\s\up7(→)))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0即eq\o(F1M,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，知F1M⊥AB，故kF1M·k＝－1.而xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2k2,k2－3)，yM＝k(xM－2)＝eq\f(6k,k2－3)，kF1M＝eq\f(3k,2k2－3)，所以eq\f(3k,2k2－3)·k＝－1，解得k2＝eq\f(3,5)，故l的斜率为±eq\f(\r(15),5).20．(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y＝－1相切，圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x2＝4y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在，又抛物线方程为x2＝4y，当直线l2的斜率为0时，|PQ|＝4eq\r(2).当直线l2的斜率k不为0时，设中点坐标为(t,2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，两式作差得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝4(y1－y2)，即得k＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(t,2)，则直线方程为y－2＝eq\f(t,2)(x－t)，与x2＝4y联立得x2－2tx＋2t2－8＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2t，x1x2＝2t2－8，则|PQ|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a